系數：指代數式的單項式中的數字因數系數：詞語解釋， 以下是為大家整理的關于根與系數的關系教材分析5篇 , 供大家參考選擇。
根與系數的關系教材分析5篇
第1篇: 根與系數的關系教材分析
《一元二次方程》補充練習2--------根與系數的關系
1．若，b，c都是有理數，并且b2-4c是一個平方數，則有理數系數方程x2+bx+c=0（a≠O）的根一定是（ ）
A.有理數 B.無理數 C.負數 D.正數
2．關于未知數x的方程x2+4x-1=0只有正實數根，則的取值范圍為（ ）
A. -4≤≤0 B. -4≤＜0 C. -4＜≤0 D. -4＜＜0
3．關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于-4，則k的取值范圍是（ ）
A. k＞-1 B. k＜0 C. -1＜k＜0 D. -1≤k＜0
4．若實數、b滿足等式2=7-3， b2=7-3b，求代數式 之值 為
5．已知b、c都是有理數，方程x2+bx+c=0有一個根是2+，那么它的另一個根是為
6．已知2+ 是關于x的方程x2-4x+c=0的一個根，則c的值是
?
7．已知關于x的方程2x2-mx-6=0的一個根2，則m= ，另一個根為
?
8．若x1，x2是方程3x2-|x|-4=0的兩根，則的值
9．方程x2-3x+1=0中的兩根分別為、b，則代數式2-4-b的值為
10．已知關于x的方程（m-2）x2-（m-1）x+m=0．
（1）請你選取一個合適的整數m，使方程有兩個有理數根，并求出這兩個根；
（2）當m＞0，且m2-2m＜0時，討論方程的實數根的情況．
11．（2013?平谷區一模）已知關于m的一元二次方程2x2+mx-1=0．
（1）判定方程根的情況；
（2）設m為整數，方程的兩個根都大于 -1且小于，當方程的兩個根均為有理數時，求m的值．
12．已知關于x的方程kx2+2（k+1）x-3=0
（1）若方程有兩個有理數根，求整數k的值
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程根的情況．
13．已知：關于x的方程①x2-（m+2）x+m-2=0有兩個符號不同的實數根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；關于x的方程②mx2+（n-2）x+m2-3=0有兩個有理數根且兩根之積等于2．求整數n的值．
14．已知為有理數，關于x的方程 | |x|-|= 有三個不相等的解，求的值．
15．已知、b、c均為有理數，判定關于x的方程
是不是一元二次方程？如果是，請寫出二次項系數、一次項系數及常數項；如果不是，請說明理由．
16．設x1，x2是一元二次方程3x2+6x?＝0的兩實數根，不解方程，求下列各式的值．
（1） (2)
17．設方程4x2-7x=3的兩根分別為x1、x2，不解方程，求下列代數式的值：
（1） （2）
18．已知x1，x2是方程x2-2x-2=0的兩實數根，不解方程求下列各式的值：
（1）； （2）
19．已知關于x的方程的兩根x1，x2的積是兩根和的兩倍，①求m的值；②求作以為兩根的一元二次方程．
20．當、b為何值時，多項式2+2b+2b2+6b+18有最小值？并求出這個最小值．
21．用配方法說明，無論x取何值，代數式 -2x2+8x-12的值總小于0．
22．已知，b，c均為實數，若+b=4，2c2?ab＝4c，求b的值．
23．要在一個長10m，寬8m的院子中沿三邊辟出寬度相等的花圃，使花圃的面積等于院子面積的30%，試求這花圃的寬度．
24．某電熱器經過兩次降價后，利潤由20元降到5元，已知降價前該產品的利潤率是25%，解答下列問題：
（1）求這種電熱器的進價；
（2）求經過兩次降價后的售價；
（3）求每次降價的平均降價率？（精確到1%）
25．某公司向銀行貸款20萬元資金，約定兩年到期時一次性還本付息，利息是本金的12%，該公司利用這筆貸款經營，兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余6.4萬元，若在經營期間每年比上一年資金增長的百分數相同，試求這個百分數．
26．有一批圖形計算器，原售價為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價的75%促銷．某單位需購買一批圖形計算器：
（1）若此單位需購買6臺圖形計算器，應去哪家公司購買花費較少；
（2）若此單位恰好花費7500元，在同一家公司購買了一定數量的圖形計算器，請問是在哪家公司購買的，數量是多少？
27．解方程： 28．解方程組
29．解方程組： 30．解方程組：
根與系數的關系答案：
1.A 2.A 3.D 4.C 5. 2 6.1 7. m=1另一根是 8. 9. -4
10. （1） x1=0，x2=1/2 （2）當0＜m＜2，原方程為一元二次方程，
11. （1）方程有兩個不相等的實數根； （2）m=-1．
12. （1）k=3， （2）當k=0時，方程有一個根，當k≠0，16k+3＞0，即k＞時，方程有兩個根
13. n=5或n=1．
14.1/2
15.略 16.（1）3 （2） 17.(1) (2) 18.(1)-2 (2)
19.(1)m=-4 (2) 20.0 21.略 22.4 23.1m
24. （1）進價為：20÷25%=80元（2）經過兩次降價后的售價為80+5=85元； （3）降價的百分比為8%．； 25. 20% 26.略 27. x1=1+、x2=1-
28. ∴原方程組的為：或或
29. ∴原方程組的解是：或
30.或
第2篇: 根與系數的關系教材分析
一元二次方程根與系數
對于一元二次方程，當判別式△＝時，其求根公式為：；若兩根為，當△≥0時，則兩根的關系為：；，根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，老師除了要求同學們應用韋達定理解答一些變式題目外，還常常要求同學們熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況，以及應用求根公式求出方程的兩個根，進而分解因式，即。下面就對應用韋達定理可能出現的問題舉例做些分析，希望能給同學們帶來小小的幫助。?
一、根據判別式，討論一元二次方程的根。?
例1：已知關于的方程（1）有兩個不相等的實數根，且關于的方程（2）沒有實數根，問取什么整數時，方程（1）有整數解？?
分析：在同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍中篩選符合條件的的整數值。?
?? 解：∵方程（1）有兩個不相等的實數根，?
??????? ∴????????? 解得；
?
??????? ∵方程（2）沒有實數根，??????? ∴?
????????? 解得；?????? 于是，同時滿足方程（1），（2）條件的的取值范圍是?????? 其中，的整數值有或?
?????? 當時，方程（1）為，無整數根；?
?????? 當時，方程（1）為，有整數根。?
解得： ?
?????? 所以，使方程（1）有整數根的的整數值是。?
說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出，這也正是解答本題的基本技巧。?
二、判別一元二次方程兩根的符號。?
例1：不解方程，判別方程兩根的符號。
分析：對于來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式△，但△只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定 或的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。?
解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ?
∴方程有兩個不相等的實數根。
?
設方程的兩個根為， ∵＜0?
∴原方程有兩個異號的實數根。 ?
說明：判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，(1)若，則方程有一正一負根；(2)若，，則方程有兩個正根；(3)若，，則方程有兩個負根．
?
三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。?
例2：已知方程的一個根為2，求另一個根及的值。 ?
分析：此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把代入原方程，先求出的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及的值。?
解法一：把代入原方程，得：?
? 即
解得 當時，原方程均可化為： ， 解得：?
∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。?
解法二：設方程的另一個根為，根據題意，利用韋達定理得：?
，
?
∵，∴把代入，可得：?
∴把代入，可得：，?
即 解得?
∴方程的另一個根為4，的值為3或—1。 ?
說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。?
例3：已知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求的值。 ?
分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于的方程，即可求得的值。?
解：∵方程有兩個實數根， ∴△?
解這個不等式，得≤0 設方程兩根為
則，?
∵?
∴?
∴?
整理得：?
解得：?
又∵，∴
?說明：當求出后，還需注意隱含條件，應舍去不合題意的。 ?
四、運用判別式及根與系數的關系解題。?
例5：已知、是關于的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的的取值范圍；若不能同號，請說明理由，?
解：因為關于的一元二次方程有兩個非零實數根，
∴則有?
∴ ?
又∵、是方程的兩個實數根，所以由一元二次方程根與系數的關系，可得：?
?
??? 假設、同號，則有兩種可能：?
?? （1）??????? （2）?
若， 則有： ；
?
即有：?
解這個不等式組，得?
∵時方程才有實樹根，∴此種情況不成立。?
???? 若 ，?? 則有：?
即有：?
解這個不等式組，得；?
又∵，∴當時，兩根能同號? ?
說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。?
? ??既要熟悉問題的常規解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。?
有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力，多年來一直受到命題老師的青睞。?
七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。?
例8：已知兩方程和至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。
?分析：當設兩方程的相同根為時，根據根的意義，可以構成關于和的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。?
解：設兩方程的相同根為，? 根據根的意義，?
?????????? 有?? ?
?????????????? ?
???????? ??兩式相減，得? ?
? 當時， ，方程的判別式?
?????????? ?
?????????? 方程無實數解?
?????????? 當時， 有實數解 ?
?????????? 代入原方程，得， 所以?
?????????? 于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為?
??????????
說明：（1）本題的易錯點為忽略對的討論和判別式的作用，常常除了犯有默認的錯誤，甚至還會得出并不存在的解：
?
當時，，兩方程相同，方程的另一根也相同，所以4個根的相乘積為：；?
（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件：?
??????? ?
且?
另外還應注意：求得的的值必須滿足這兩個不等式才有意義。
??
一、填空題：?
1、如果關于的方程的兩根之差為2，那么?????????? 。?
2、已知關于的一元二次方程兩根互為倒數，則????? 。?
3、已知關于的方程的兩根為，且，則????????。?
4、已知是方程的兩個根，那么：???????? ；
??????? ；?????? ??。
?
5、已知關于的一元二次方程的兩根為和，且，則??????? ；?????????? 。?
6、如果關于的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是?????????? ，的值為?????????? 。?
7、已知是的一根，則另一根為?????? ，的值為?????? 。?
8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為：???????? 。?
二、求值題：?
1、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。?
2、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。?
3、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。?
4、已知兩數的和等于6，這兩數的積是4，求這兩數。?
5、已知關于x的方程的兩根滿足關系式，求的值及方程的兩個根。?
6、已知方程和有一個相同的根，求的值及這個相同的根。?
?
答案與提示：
?
一、填空題：?
1、提示：，，，∴，?
∴，解得：?
2、提示：，由韋達定理得：，，∴，
?解得：，代入檢驗，有意義，∴。
?3、提示：由于韋達定理得：，，∵，
?∴，∴，解得：。
?
4、提示：由韋達定理得：，，
?
；；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：①設＞0，＜0，則
?；②設＜0，＞0，則。
?5、提示：由韋達定理得：，，∵，∴，，∴，∴。
?6、提示：設，由韋達定理得：，，∴，解得：，，即。
?7、提示：設，由韋達定理得：，，∴，
?∴，∴
?8、提示：設所求的一元二次方程為，那么，，
?∴，即；；∴設所求的一元二次方程為：
?二、求值題：
?1、提示：由韋達定理得：，，∴
?
2、提示：由韋達定理得：，，∴
?
?3、提示：由韋達定理得：，，
?∴
?
?4、提示：設這兩個數為，于是有，，因此可看作方程的兩根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的兩個數分別是，。
?5、提示：由韋達定理得，，∵，∴，
?∴，∴，化簡得：；解得：
?，；以下分兩種情況：
?
①當時，，，組成方程組： ；解這個方程組得：；
?②當時，，，組成方程組：；
?解這個方程組得：
?
6、提示：設和相同的根為，于是可得方程組：
?；①②得：，解這個方程得：；
?以下分兩種情況：（1）當時，代入①得；（2）當時，代入①得。
?所以和相同的根為，的值分別為，。
第3篇: 根與系數的關系教材分析
《一元二次方程根與系數的關系》
教學設計與反思
教材分析：一元二次方程根與系數的關系的知識內容主要是以前一單元中的求根公式為基礎的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數的關系，以及以數x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后通過4個例題介紹了利用根與系數的關系簡化一些計算的知識。
學情分析：1．學生已學習用求根公式法解一元二次方程。
2．本課的教學對象是九年級學生，學生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征。
3．在教學初始，出示一些學生所熟悉和感興趣的東西，結合一元二次方程求根公式使他們在現代化的教學模式和傳統的教學模式相結合的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系。
教學目標：1、知識目標：要求學生在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系式，能運用根與系數的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數，會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方數，兩根之差。
2、能力目標：通過韋達定理的教學過程，使學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養學生的創新意識和創新精神。
3、情感目標：通過情境教學過程，激發學生的求知欲望，培養學生積極學習數學的態度。體驗數學活動中充滿著探索與創造，體驗數學活動中的成功感，建立自信心。
教學重難點：
1、重點：一元二次方程根與系數的關系。
2、難點：讓學生從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關系，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度，是教學的難點。
教學過程：
教學環節
教師活動
預設學生行為
設計意圖
問題引探
解下列方程：
2x2+5x+3=0???????3x2-2x-8=0
并根據問題2和以上的求解填寫下表
請觀察上表，你能發現兩根之和、兩根之積與方程的系數之間有什么關系嗎？
問題4.請根據以上的觀察發現進一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關系：____________。
問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。
分小組討論以上的問題，并作出推理證明。
?若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為
x1= ，x2= 。
則
x1+x2= + = ；
x1 x2= ·
?
?此得出一元二次方程的根與系數的關系；還可以讓學生用自己的語言表述這種關系，來加深理解和記憶。
這個關系是一個法國數學家韋達發現的，所以也稱之為韋達定理。
?
?
?
探索發現
問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導學生反思性小結）
①二次項系數a是否為零，決定著方程是否為二次方程；
②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數；
③當a≠0時，△=b2可判定根的情況；
④當a≠0，b2≥0時，x1+x2= ，x1x2= 。 ?
⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。
學生交流探討
本設計采用“實踐——觀察——發現——猜想——證明”的過程，使學生既動手又動腦，且又動口，教師引導啟發，避免注入式地講授一元二次方程根與系數的關系，體現學生的主體學習特性，培養了學生的創新意識和創新精神。
嘗試發展
根據根與系數的關系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數）
1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= _________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= __________
（3）5x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= __________
此試一試、鞏固知識
拓展創新
利用根與系數的關系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數和。
討論：解上面問題的思路是什么？
x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;???
將平方和、倒數和轉化為兩根和與積的代數式
師生共同歸納小結
本課主要研究了什么？
1、方程的根是由系數決定的。2、a≠0時，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2= ，x1x2= 。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數關系的有關應用。
回顧總結
板書設計：
一元二次方程根與系數的關系
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。
問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？
①二次項系數a是否為零，決定著方程是否為二次方程；
②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數；
③當a≠0時，△=b2可判定根的情況；
④當a≠0，b2≥0時，x1+x2= ，x1x2= 。
⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。
學生學習活動評價設計：
本節課充分讓學生分析、觀察、提高了學生的歸納能力及推理論證的能力。
教學反思：
1．一元二次方程根與系數的關系的推導是在求根公式的基礎上進行。它深化了兩根的和與積同系數之間的關系，是我們今后繼續研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎。
2．以一元二次方程根與系數的關系的探索與推導，向學生展示認識事物的一般規律，提倡積極思維，勇于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力
3．一元二次方程的根與系數的關系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數等問題結合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。
4．使學生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優化解題方法，增強擇優能力。力求讓學生在自主探索和合作交流的過程中進行學習，獲得數學活動經驗，教師應注意引導。
第4篇: 根與系數的關系教材分析
專題：一元二次方程根的判別式和根與系數的關系
例1.已知關于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．
（1）當m取何值時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）若x1、x2為方程的兩個不等實數根，且滿足x12+x22-x1x2=2，求m的值．
例2.已知關于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．
（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根；
（2）設此方程的兩個根分別為x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．
例3．已知關于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個根分別為x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-m，且點B（m，n）在x軸上，求m的值．
.
例4.已知關于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若原方程的兩個實數根為x1、x2，且滿足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．
例5.已知關于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0．
（1）求證：無論k取什么實數值，這個方程總有實數根；
（2）能否找到一個實數k，使方程的兩實數根互為相反數？若能找到，求出k的值；若不能，請說明理由．
（3）當等腰三角形ABC的邊長a=4，另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩根時，求△ABC的周長．
訓練
1.已知關于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）已知方程有兩個不相等的實數根α，β，滿足+=1，求m的值．
2.已知一元二次方程x2-2x+m=0
（1）若方程有兩個實數根，求m的范圍；
（2）若方程的兩個實數根為x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．
（3）若方程的兩個實數根為x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．
3.已知關于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0
（1）證明：無論m為何值方程都有兩個實數根；
（2）是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于26？若存在，求出滿足條件的正數m的值；若不存在，請說明理由．
4.已知關于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k為常數）．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設x1、x2為方程的兩個實數根，且2x1+x2=14，試求出方程的兩個實數根和k的值．
5.已知關于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有兩個不相等的實數根x1、x2．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1、x2滿足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．
6.已知關于x的一元二次方程x2-（m-2）x+m-3=0
（1）求證：無論m取什么實數時，這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）如果方程的兩個實數根為x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．
7.已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一個根為x=3．
（1）求a的值及方程的另一個根；
（2）如果一個等腰三角形（底和腰不相等）的三邊長都是這個方程的根，求這個三角形的周長．
8.設x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的兩實根，當a為何值時，x12+x22有最小值？最小值是多少？
專題：一元二次方程根的判別式和根與系數的關系
例1.解：（1）∵方程有兩個不相等的實數根，
例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，
例3.解得：m＞-，∵二次項系數≠0，∴m≠0，
例4.∴當m＞-且m≠0時，方程有兩個不相等的實數根；
例5.（2）∵x1、x2為方程的兩個不等實數根，
例6.∴x1+x2=，x1x2=，
例7.∴x12+x22-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（）2-=2，
例8.解得：m1=+1，m2=-+1（舍去）；∴m=+1．
例9.
例10.解：（1）∵△=（-4m）2-4（4m2-9）=36＞0，
例11.∴此方程有兩個不相等的實數根；
例12.（2）∵x==2m±3，
例13.∴x1=2m-3，x2=2m+3，
例14.∵2x1=x2+1，∴2（2m-3）=2m+3+1，
例15.∴m=5．
例16.
例17.解：（1）∵△=（4-3m）2-4m（2m-8），
例18.=m2+8m+16=（m+4）2
例19.又∵m＞0∴（m+4）2＞0即△＞0
例20.∴方程有兩個不相等的實數根；
例21.（2）∵方程的兩個根分別為x1、x2（x1＜x2），
例22.∴x1+x2=-，x1?x2=，
例23.n=x2-x1-m，且點B（m，n）在x軸上，
例24.∴x2-x1-m=-m=-m=0，
例25.解得：m=-2，m=4，
例26.∵m＞0，∴m=4．
例27..解：（1）∵方程x2-2（m+1）x+m2+5=0有兩個不相等的實數根，
例28.∴△=[-2（m+1）]2-4（m2+5）=8m-16＞0，解得：m＞2．
例29.（2）∵原方程的兩個實數根為x1、x2，
例30.∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5．
例31.∵m＞2，
例32.∴x1+x2=2（m+1）＞0，x1?x2=m2+5＞0，
例33.∴x1＞0、x2＞0．
例34.∵x12+x22=-2x1?x2=|x1|+|x2|+2x1?x2，
例35.∴4（m+1）2-2（m2+5）=2（m+1）+2（m2+5），即6m-18=0，
例36.解得：m=3．
例37.
例38.證明：（1）∵△=（2k+1）2-16（k-）=（2k-3）2≥0，
例39.∴方程總有實根；
例40.解：（2）∵兩實數根互為相反數，
例41.∴x1+x2=2k+1=0，解得k=-0.5；
例42.（3）①當b=c時，則△=0，
例43.即（2k-3）2=0，∴k=，
例44.方程可化為x2-4x+4=0，∴x1=x2=2，而b=c=2，∴b+c=4=a不適合題意舍去；
例45.②當b=a=4，則42-4（2k+1）+4（k-）=0，
例46.∴k=，
例47.方程化為x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，
例48.∴c=2，C△ABC=10，
例49.當c=a=4時，同理得b=2，∴C△ABC=10，
例50.綜上所述，△ABC的周長為10．
例51.
訓練
1.（1）證明：∵方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）是一元二次方程，
∴△=（m+2）2-8m=m2+4m+4-8m=m2-4m+4=（m-2）2≥0，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：∵方程有兩個不相等的實數根α，β，
∴由根與系數的關系可得α+β=，αβ=，
∵+=1，
∴==1，
解得m=0，
∵m≠0，
∴m無解．
2.解：（1）∵方程x2-2x+m=0有兩個實數根，
∴△=（-2）2-4m≥0，
解得m≤1；
（2）由兩根關系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，
解方程組，
解得，
∴m=x1?x2=×=；
（3）∵x12-x22=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，∵x1+x2=2≠0，∴x1-x2=0，
∴方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數根，
∴△=（-2）2-4m=0，
解得m=1．
3.（1）證明：∵關于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0的判別式△=（m-3）2+4m（2m-3）=9（m-1）2≥0，
∴無論m為何值方程都有兩個實數根；
（2）解：設方程的兩個實數根為x1、x2，
則x1+x2=-（m-3），x1×x2=-m（2m-3），
令x12+x22=26，得：（x1+x2）2-2x1x2=（m-3）2+2m（2m-3）=26，
整理，得5m2-12m-17=0，
解這個方程得，m=或m=-1，
所以存在正數m=，使得方程的兩個實數根的平方和等于26．
4.（1）證明：在方程x2-6x-k2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k2）=4k2+36≥36，
∴方程有兩個不相等的實數根．
（2）解：∵x1、x2為方程的兩個實數根，
∴x1+x2=6①，x1?x2=-k2，
∵2x1+x2=14②，
聯立①②成方程組，
解之得：，
∴x1?x2=-k2=-16，
∴k=±4．
5.解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數根，
∴△=[-（2k-3）]2-4（k2+1）=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜，
∴x1+x2=2k-3＜0，
又∵x1?x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=-x1-x2=-（x1+x2）=-2k+3，
∵|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，
∴-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，
∴k1=1，k2=-2，
又∵k＜，
∴k=-2．
6.解：（1）∵△=（m-2）2-4×（m-3）=（m-3）2+3＞0，
∴無論m取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：x1+x2=m-2，
2x1+x2=x1+（x1+x2）=m+1，
∴x1=m+1+2-m=3，
把x1代入方程有：
9-3（m-2）+m-3=0
解得m=．
7.解：（1）將x=3代入方程中，得：9（a-1）-15+4a-2=0，
解得：a=2，
∴原方程為x2-5x+6=（x-2）（x-3）=0，
解得：x1=2，x2=3．
∴a的值為2，方程的另一個根為x=2．
（2）結合（1）可知等腰三角形的腰可以為2或3，
∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．
∴三角形的周長為8或7．
8..解：∵△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0，∴
又∵x1+x2=-2a，x1x2=a2+4a-2．
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4．
設y=2（a-2）2-4，根據二次函數的性質．
∵
∴當時，x12+x22的值最小．
此時，即最小值為．
第5篇: 根與系數的關系教材分析
根與系數的關系及其應用
作者：李彩蘭
來源：《初中生·考試》2012年第06期
????????如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1，x2，那么x1+x2=-■，x1·x2=■.這就是根與系數的關系，也稱為韋達定理.下面以2011年中考試題為例，歸納它在中考解題中的幾種典型應用，供你復習時參考.
????????一、已知方程的一個根，求另一個根及未知系數的值
????????例1 (2011年常州卷)已知關于x的方程x2+mx-6=0的一個根為2，則m= ，另一根是 ．
????????解：設方程的另一根為x0.
????????由兩根之積等于-6，得2x0=-6，∴x0=-3，即另一根為-3.
????????由兩根之和為-m，得2+(-3)=-m，∴m=1.
????????因此，依次填1，-3.
????????溫馨小提示：本題也可以將x=2代入原方程，求得m的值，再將m的值代入方程，通過解方程求出另一個根.但這種解法沒有用根與系數的關系求解簡便.
????????二、求與兩根有關的代數式的值
????????例2 （1）（2011年眉山卷）已知一元二次方程y2-3y+l=0的兩個實數根分別為y1、y2，則(y1-l)(y2-l)的值為 .
????????（2）（2011年自貢卷）已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的兩個實數根，則■+■的值等于( ).
????????A．6 B．-6 C．10 D．-10
????????解：（1）由根與系數的關系，得y1+y2=3，y1·y2=1.
????????∴(y1-l)(y2-l)=y1·y2-(y1+y2)+1=1-3+1=-1.
????????（2）由根與系數的關系，得x1+x2=-6，x1·x2=3.
????????∴■+■=■=■=■=10.選C.
????????溫馨小提示：解這類問題的關鍵是將式子化成含x1+x2，x1x2的形式.常見的公式變形有：