摘 要：傅里葉變換在物理學、信號學、圖像處理等方面有著廣泛應用，充分利用其旋轉、平移、對稱、卷積等性質將為生產實踐提供很大服務。本文利用matlab強大的圖像處理功能，以自定義的1000*1000二值圖像為基礎數據，驗證傅里葉變換的旋轉性質和平移性質。
關鍵詞：matlab；傅里葉變換；旋轉；平移；
文章編號：1674-3520（2015）-12-00-01
一、引言
在信號處理中，DFT的計算具有舉足輕重的地位。信號的相關、濾波、譜估計等都要通過DFT來實現。然而，當N很大的時候，求一個N點的DFT要完成N*N次復數乘法和N（N-1）次復數加法，其計算量相當大。1965年J.W.Cooley和J.W.Tukey巧妙的利用WN因子的周期性和對稱性，構造了一個DFT快速算法，即快速傅里葉變化（FFT）。由于各個科學技術領域廣泛的使用了FFT技術，從而及大地推動了信號處理技術的進步，現已成為數字信號處理強有力的工具，本論文將比較全面的敘述傅里葉變換算法的原理、特點，并完成了基于MATLAB的實現。
二、傅里葉變換
傅里葉變換是一種特殊的積分變換，它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。傅里葉變換在數學中的定義很嚴格。設為x的函數，如果滿足條件：具有有限個間隔點，有限個極值點，絕對可積，則有下列二式成立：
式中，x為時域（對應頻域）變量，u為時間（對應頻率）變量 。如果令，則有
通常把以上公式稱為傅里葉變換對。
最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出，如今在不同的研究領域傅里葉變換具有多種不同的變體形式。傅里葉原理表明任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。目前，傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用。根據傅里葉變換卷積性質，可以把一些不直觀的、難理解的卷積轉換到頻域中做乘法運算，然后再做傅里葉逆變換，達到期望的效果?？焖俑道锶~變換（Fast Fourier Transform，FFT）算法按N的組成情況可分成N為2的整數冪的算法、N為高復合數的算法、N為素數的算法三種情況。
傅里葉變換是線性算子，具有可分性、相關性、共軛對稱性、旋轉性、比例變換特性、空域平移性、頻域平移性等性質。
三、傅里葉變換的性質
（一）旋轉性
如果圖像函數在空間域旋轉的角度為，則在變換域中此函數的傅里葉變換也旋轉同一角度，即
（二）空域平移性
空間內圖像的原點平移到后，其對應的傅里葉變換關系式為：
（三）頻域平移性
頻域（變換域）譜的原點平移到后，其對應的傅里葉逆變換關系式為：
四、Matlab實例驗證
Matlab具有強大的計算功能和豐富的工具箱函數，用Matlab處理圖像的優點主要表現在：Matlab已經將數學算法編成了現成的函數，代碼短小，編程效率高；具有強大的矩陣計算功能，能高效實現圖像處理運算；強大的圖形表達功能；擴展性良好，用戶能自己編寫M文件，組成自己的工具箱。
在matlab中，fftshift函數把傅里葉變換的零頻率部分移到頻譜的中間，其調用格式為。具體來說，把fft函數、fft2函數和fftn函數輸出的結果的零頻率部分移到數組的中間，對于觀察傅里葉變換頻譜中間零頻率部分十分有效。對于向量，把X左右部分交換一下；對于矩陣，把X的一、三象限和二、四象限交換；對于高維數組，在每維交換X的半空間。
（一）旋轉性
傅里葉變換的旋轉性質驗證主要通過圖像負向旋轉45度后的傅里葉變換頻譜比較實現。
因此，可得出結論：若圖像f（x，y）旋轉θ，則它的傅里葉變換頻譜也旋轉θ。這驗證了傅里葉旋轉公式的結論。同時，我們發現圖像正負向旋轉相同角度，其頻譜變換也一樣，間接驗證了傅里葉變換整體上的共軛對稱性，通過對不同角度正負向旋轉進行試驗，其頻譜變換也是一樣。
（二）平移性
傅里葉變換的平移性質驗證主要通過對原始圖像、圖像沿x軸移動和圖像沿y軸移動、圖像沿xy兩軸都移動后的傅里葉變換頻譜比較實現。
五、結語
通過以上matlab實驗，驗證了傅里葉變換的旋轉性質和平移性質。傅里葉變換有著很好的理論背景，其在空間濾波、光學信息、圖像處理中都發揮著重要作用。隨著圖像處理所用的計算機設備不斷降價、支持傅里葉變換的硬件的出現，傅里葉變換在數字圖像處理領域將得到進一步發展。
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作者簡介：李曉寧，測繪制圖，天津市西青區李七莊凌口昌凌路天津市測繪院，郵編300381，聯系電話13821114596，郵箱279478862@QQ.COM