揚州大學數學科學學院(225001) 王軼
學科教學知識(PCK)最早是由美國學者Shulman 針對師范教育中教學知識和學科知識的割裂而提出的一個重要概念,他將其定義為:教學內容知識是教師獨有的、可以將內容知識和教學法知識融合在一起的特殊形式的知識類型,用以說明教師如何選擇特有的材料和方式組織教學,以促進學習者的學習[1].自從Shulman 提出PCK 概念后,引起了教育界的關注,許多從事數學教育的學者也開始從數學教育的角度對PCK 進行研究,因此也就形成了數學教師特有的“數學學科教學內容知識”(Mathematics Pedagogical Content Knowledge),簡稱MPCK.
MPCK 提出后,各專家學者一方面在其本質、特征和結構方面展開研究,另一方面則從教師專業發展層面進行MPCK 的案例剖析、教師培訓.目前國內對于MPCK 的結構研究中,香港學者黃毅英的分類是最受數學界認可的,他將MPCK 分為互有重疊的三個部分:(1)數學學科知識(Mathematics Knowledge,簡稱MK);(2)一般教學法知識(Pedagogical Knowledge,簡稱PK);(3)有關數學學習的知識(Content Knowledge,簡稱CK)[2].在實際的教學中,則需要教師綜合運用這三部分知識,三者產生交集,也就形成了數學教師所應具備的專業核心知識——MPCK,利用韋恩圖可以直觀的感受其結構,見圖1.
圖1
教師的MPCK 提升必然要在真實的教學環境下進行,所以即使有些在職教師缺乏最新的MK、PK、CK 知識,但由于其一線教學經驗充足,其MPCK 也會比較充足.所以,要想提升職前教師的MPCK 水平,就十分有必要模擬真實的教學情境,進行MPCK 案例的研發與剖析.根據舒爾曼的說法“教師不僅需要了解某事是這樣的,還必須進一步了解為什么會這樣”,教師的知識應該超越對學生要掌握的知識的認識,從高處著眼,低處入手,形成各教師自己的教學原則和方法,才能幫助學生理解和拓展所學知識.所以,下面以一道初中數學題與一道高考題為例,分析并展示在不同學段借助高等視角進行中學教師數學教學內容知識(MPCK)的優化與拓展,同時也可以為數學師范生與職前教師的MPCK 培訓提供素材和方向.
案例1[1985年全國初中數學聯賽題]有甲、乙、丙三種貨物,若購甲3 件、乙7 件、丙1 件,共需3.15 元;若購甲4件、乙10 件、丙1 件,共需4.20 元;現在購買甲、乙、丙各一件共需幾元?
(1)從MK 的角度:首先將生活問題轉化為數學問題,將問題解決步驟轉向三元一次方程組及其解法的相關知識.其次在解題中涉及到化歸、整體代入等數學思想方法的運用.
(2)從PK 的角度:本題在初中階段學生的解決重點在于將新知轉化為已知,把未見過的問題轉化為學過的問題,引起學生新舊知識的矛盾,所以在實際教學時,可選擇啟發引導式、小組討論等策略,鼓勵交流,引導學生找出題目特點進行轉化解題.
(3)從CK 的角度:初中階段的學生有符合其年齡特征的認知水平,應結合學生的具體思維發展水平來考慮問題解決的方法和策略.
(4)優秀初中教師的MPCK 綜合運用
設甲、乙、丙的單價分別為x元、y元、z元,由題意得
對于中學生來說,這是一個非常規的三元一次方程組,三個未知數,僅有兩個方程,不能將未知量一一解出.教師要培養學生解題時的觀察、分析能力,引導學生通過多種途徑將其變形為常規二元方程組的求解.
途徑1在保持知識的連貫性的基礎上,將題目的求解目標盡可能與已知條件相關聯,既然所求是x+y+z的值,那就嘗試將其整體作為二元一次方程組的一個未知量,將原方程變形為于是,x+y+z的求值轉化為加減消元法消去x+3y.在這個過程中,教師其實就是將換元的思想滲透到了數學語言教學環境中.
途徑2若我們已經有了將三元一次方程組轉化為二元一次方程組的意識,也可以視x,y為主元素,將原方程組變形為解得從而x+y+z=1.05.
以上的解題思路是基于學生以往學習的關于二元一次方程組的知識和經驗進行分析的,把難度大的問題轉化為難度小的問題,將特殊問題轉化為一般問題,問題解決過程伴隨著數學思想方法的運用,問題的步步轉化也遵循數學思想方法的指引.所以初中教師要想提高教學質量,必須要盡可能的擴展自己的MPCK,用學生易于理解的和接受的方式進行教學.若教師僅將問題描述為①×3?②×2 得x+y+z=1.05 的簡單消元計算,恐怕學生更會認為解題過程具有巧合性而喪失問題解決的信心和積極性.那這種解法是否只是思維突然碰撞出的“巧合”?
數學是嚴謹的,每個解法背后都有科學性來支撐.對于不同階段的學生,數學的嚴謹性可以不同,所以教師教學的切入點和目標也有所不同[3].初中階段對空間幾何并不深入,但擁有豐富MPCK 的教師則會借此機會為學生未來更加深入的數學學習開一扇小窗,這也是有經驗教師MPCK 靈活使用的標志.以下給出兩種高觀點角度的MPCK 綜合應用.
(5)空間解析幾何角度的MPCK
在解析幾何中,平面可以通過一個三元一次方程來描述,這樣,我們就可以建立起本題三元一次方程組及其求解的幾何意義:①、②表示了兩個平面,而求解則是確定一個過其交線的平面(求k):
可設出過①、②交線的所有平面λ(3x+7y+z?3.15)+μ(4x+10y+z?4.20)=0,整理得到(3λ+4μ)x+(7λ+10μ)y+(λ+μ)z=3.15λ+4.20μ,令可解得λ=3,μ=?2,從而得③中的k為k=3.15×3?4.20×2=1.05.由此得到簡便解法:
解①×3?②×2 得x+y+z=3.15×3?4.20×2=1.05
在數學教與學的過程中,有些知識站在高視角上看是簡單的,但是要向學生解釋清楚卻十分困難.而沒有空間知識作指導,要找到這個解法并不輕松,看似簡潔快速的解題過程,背后卻有堅實的數學邏輯支撐著.
(6)代數角度的MPCK
在線性代數中,由于行列式與多項式存在許多結合點,這就使得我們可以以行列式為工具來解決多項式中的某些問題:將方程①、②、③聯立,得三元非齊次線性方程組有非零解,又可得行列式解法.但顯然這種解法已經超出了教學的要求,但仍是一位優秀教師應該具備的MPCK.運用高等數學知識的觀點去理解中學數學的教材、內容和問題,從而提高自身對MK、PK、CK 的理解,以便更好地指導教學,這應是目前一部分中學教師所缺少的、應該正視的問題.
案例2[2021年全國乙卷理12 題]設a=2 ln 1.01,b=ln 1.02,c=則()
(1)從MK 的角度:此題是高考中常見的一類比較大小的題目,以不等式為支架,考差了函數及導數的單調性和最值問題,其中涉及到的轉化及構造函數思想則是解題的關鍵,綜合性較強,不僅需要扎實的基礎知識,還需要恰當的方法和技巧.
(2)從PK 的角度:本題的解決需要在教師的分析和引導下找到合適的思路,因此應以講授法為主,并留給學生思考的余地,循序漸進,避免讓學生產生畏難情緒.
(3)從CK 的角度:作為高考卷的一道壓軸選擇題,難度較高,教師在了解學生目前的知識水平的狀況下,應預測到學生在解題過程中可能出現的疑問和錯誤,對能力不同的學生也能有針對的教學,既要讓基礎差的學生找到常規的解題思路,也要鼓勵基礎較好的學生拓展思維和方法.
(4)優秀高中教師MPCK 的綜合運用
經過高中階段的系統學習,比較大小類型的題目已經有幾種比較固定的解法,比較常見的有:一,利用函數單調性、奇偶性或特殊值來進行比較; 二,作商法,利用“1”來比較;三,作差法,利用a?b>0 來比較;四,圖像法.
顯然a,b可以直接進行比較,∵a=2 ln 1.01=ln 1.0201,b=ln 1.02,∴a>b.
可以排除A、D 選項,只需比較a,c
根據波利亞的解題思想,擬定解題方案時,可以引導學生盡量回想一道所熟悉的具有相同或相似變量的題目.在高一學習函數部分的時候,經常會接觸到對數、指數、及其他很多莫名其妙的數字比大小的問題,而在函數單調性學習時,在定義域的某個區間內任取x1< x2,比較f(x1),f(x2)的大小,最常使用的是作差法.所以考慮到選擇壓軸題的復雜性,可以嘗試構造差函數.
令f(x)=2 ln(1+x)?(?1),0< x <1,又令=t,則?t+1=2 ln(t2+3)?t+1?2 ln 4,∴g′(t)=∴g(t)在上單調遞增,∴g(t)>g(1)=2 ln 4?1+1?2 ln 4=0,∴f(x)>0,∴a>c.
同理,若想比較b、c,也可以構造函數
或許當答案直接呈現在學生面前的時候,幾乎所有學生也都能夠理解,但獨自解題時卻又會無從下手.但只要教師擁有足夠的MPCK,把握數學知識的科學性和嚴謹性、針對不同情況采取不同的教學策略、對學生的疑難障礙進行正確預測,就能夠對問題有更廣闊的理解,從而選擇適合學生理解和學習的教學呈現方式.
(5)高觀點下的MPCK
在高考中,許多命題都可以溯源到高等數學的某些概念,泰勒公式則是函數命題中常見的橋梁.高中階段,學生的認知水平較高,可以滲透較高的數學觀點,熟記常見的泰勒公式展開式,對于立志突破瓶頸的基礎較好的學生來說,“性價比”很高.
在此題中,則恰好涉及了兩個常見的泰勒公式及其重要應用——近似值估算.
先比較a,c:取xa=0.01,代入①式,得a=2 ln(1+0.01)=0.02?(0.02)2++···,取xc=0.04,代入②式,得···
以上兩式第一項相等,第二項下面更小,而后面的項遠小于前面的,可以忽略.∴a > c,再比較b,c:取xb=0.02,代入①的原式,得
此題應用泰勒公式后,計算量大幅度降低.在解相關小題中,若常規思路受阻,則更是可以直接使用泰勒公式.在教學中,教師只有擁有專業的MPCK,才能使“高觀點”下的中學教學具有選擇性、引導性、銜接性,將合適的知識教給合適的學生,在不脫離學生認知的情況下給予他們思維的拓展.
筆者基于對上述兩個案例的分析,在就讀學校的學科教學(數學)專業一年級的30 名學生中開展了調查,采用問卷法、訪談法,根據對德國coactiv 研究團隊的MPCK 概念框架的理解,生成了學科教學(數學)專業碩士MPCK 測評表(見表1),來反饋被研究者的學科教學知識(MPCK)發展到何種程度.在調查中,初、高中不同學段的被試分別對應案例一、二的題目,讓其列出盡可能多的解法及教學思路.
表1 學科教學(數學)專業碩士MPCK 測評表
根據對調查結果的分析:學科教學(數學)專業碩士MK水平較低,雖然基本能正確解題,但無法對題目展開聯想從而尋找更多的解題思路;PK 水平教好,能夠根據解題思路選擇合適的教學方法、實施正確的教學手段來引導學生正確解題;CK 水平一般,近一半的同學無法預測到學生在解題過程中的疑問,不能夠站在學生的角度思考問題.
綜合上述,學科教學(數學)專業碩士在研究生一年級的MPCK 還有很大的提升空間,既要強化對數學學科知識的理解和聯系、提高對教學法的融合應用,也要關注學生層面,深入研究學生學習的理論和實踐.后續將對應案例剖析作為解題教學指導后,他們對于學科知識、教學思路、課堂預設等的認識都有了一定程度的提高,可見,采用MPCK 案例剖析的培訓方式,對提高職前教師的專業化水平效果顯著,也期待更加系統化的MPCK 教師培訓模式的生成.
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