摘要:數(shù)學(xué)模型方法不僅為經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了一種強(qiáng)有力的分析工具,更從根本上改變了經(jīng)濟(jì)學(xué)家看問(wèn)題和分析問(wèn)題的角度和理念,使其對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的本質(zhì)產(chǎn)生了全新的看法。文章討論了數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的優(yōu)越性,通過(guò)具體實(shí)例展示了數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的完美結(jié)合,分析了數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中誤區(qū),提出了一些數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的應(yīng)用的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)模型;經(jīng)濟(jì)研究;彈性;需求價(jià)格彈性;線性規(guī)劃模型;應(yīng)用

一、引言

數(shù)學(xué)以純粹的量的關(guān)系和形式作為自己的對(duì)象,其完全舍棄了具體現(xiàn)象的實(shí)際內(nèi)容而去研究一般的數(shù)量關(guān)系,其考慮的是抽象的共性。相反,包括經(jīng)濟(jì)學(xué)在內(nèi)的其他科學(xué)感興趣的首先是自己所抽象的公式(數(shù)學(xué)模型)同某個(gè)完全確定的現(xiàn)象的對(duì)應(yīng)問(wèn)題及應(yīng)用的約束條件。這兩者之間是有矛盾的,因此經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)用首要的問(wèn)題是適用性或說(shuō)實(shí)踐性的問(wèn)題,即能否用所建立的模型去概括某一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象或說(shuō)明某一經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。為簡(jiǎn)潔而又形象地對(duì)事物量化屬性和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行深刻地描述,用字母、數(shù)學(xué)及其他數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來(lái)的等式或不等式以及圖表、圖象及框圖等對(duì)客觀事物的數(shù)量特征及其內(nèi)在聯(lián)系的表達(dá)形式,都可稱為數(shù)學(xué)模型。運(yùn)用數(shù)學(xué)模型可以研究變量之間的關(guān)系,探尋事物的變化規(guī)律,用可控變量得出必要的結(jié)果,從而概括出理論假說(shuō),這就是數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。現(xiàn)在這兩個(gè)矛盾爭(zhēng)論的焦點(diǎn),不是經(jīng)濟(jì)學(xué)要不要運(yùn)用數(shù)學(xué)方法,而是如何在經(jīng)濟(jì)研究中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的優(yōu)越性

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo)下對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)化,其主要的本質(zhì)方面又近似地反映了經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí),是經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)的抽象。能起明確思路、加工信息、驗(yàn)證理論、計(jì)算求解、分析和解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的作用。

數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的優(yōu)越之處在于其有堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ),理論基礎(chǔ)是指數(shù)學(xué)理論的支持,從最基本的概念、定義或公理出發(fā),經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推理建立起來(lái)的數(shù)學(xué)公理化理論系統(tǒng),提供了大量可以利用的定理、方法和結(jié)論。而且數(shù)學(xué)理論的具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬒到y(tǒng),因此數(shù)學(xué)模型也必然具有嚴(yán)格的邏輯關(guān)系,正確的數(shù)學(xué)模型必然引出正確的結(jié)果,更具說(shuō)服力。

數(shù)學(xué)模型的優(yōu)越性還表現(xiàn)在其著重于整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各種經(jīng)計(jì)量之間的相互關(guān)系,其最能體現(xiàn)系統(tǒng)論的思想,具有整體性、目的性、動(dòng)態(tài)性和自我調(diào)節(jié)能力,能夠從整體把握經(jīng)濟(jì)量之間的本質(zhì)聯(lián)系,從而展現(xiàn)經(jīng)濟(jì)過(guò)程的全貌。

因此,數(shù)學(xué)模型比一般的定性分析和統(tǒng)計(jì)分析更深刻、更嚴(yán)謹(jǐn)和更有效。一般的定性分析和統(tǒng)計(jì)分析難以有效揭示經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象背后深層次的問(wèn)題,而經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型(尤其是計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型)揭示了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中變量之間的相互聯(lián)系,將經(jīng)濟(jì)目標(biāo)作為被解釋變量,經(jīng)濟(jì)政策作為解釋變量,可以很方便的評(píng)價(jià)各種不同的政策對(duì)目標(biāo)的影響。利用數(shù)學(xué)模型對(duì)經(jīng)濟(jì)科學(xué)決策進(jìn)行模擬和反饋,是一種目前分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題和現(xiàn)象最可行的方法。

三、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中的的應(yīng)用大致包括四個(gè)方面:觀察和預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)事物的機(jī)理變化和發(fā)展趨勢(shì);規(guī)劃和設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)的現(xiàn)實(shí)和未來(lái);分析和控制經(jīng)濟(jì)的運(yùn)動(dòng)和規(guī)模;研究和解釋經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象及規(guī)律。可以概括為:結(jié)構(gòu)分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、政策評(píng)價(jià)、檢驗(yàn)與發(fā)展經(jīng)濟(jì)理論等四個(gè)方面。

例如,經(jīng)濟(jì)學(xué)中的結(jié)構(gòu)分析是對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中變量之間相互關(guān)系的研究,其研究的是當(dāng)一個(gè)變量或幾個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)會(huì)對(duì)其他變量以至經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生什么樣的影響,其主要采用的方法有彈性分析、乘數(shù)分析與比較靜力分析。下面以彈性分析為例,談?wù)剶?shù)學(xué)模型與經(jīng)濟(jì)的完美結(jié)合。

彈性作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念是指相對(duì)變化率,即相互依存的一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量變化的反應(yīng)程度。用比例來(lái)說(shuō),是自變量變化1%所引起因變量變化的百分?jǐn)?shù)。彈性是一種不依賴于任何單位的計(jì)量法,即是無(wú)量綱的。

下面給出彈性的一般概念:給定變量u,其在某處的改變量Δu稱為絕對(duì)改變量。給定改變量Δu與變量在該處的值u之比■稱為相對(duì)改變量。

定義1。對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果極限lim■存在,則:

lim■=lim■=■■=■f′(x)

稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的彈性,記作E,即E=■■=■f′(x)。

其數(shù)學(xué)意義可以解釋為當(dāng)自變量變化百分之一時(shí)函數(shù)變化的百分?jǐn)?shù)。

將彈性理論引入經(jīng)濟(jì)學(xué),為經(jīng)濟(jì)分析提供了有力的工具。需求價(jià)格彈性是是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)彈性中應(yīng)用最廣泛的概念之一。

設(shè)需求函數(shù)為Q=Q(P),這里P為價(jià)格,Q為需求量。需求彈性為:Ed=■■。

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的需求定理,需求函數(shù)是單調(diào)減少函數(shù),所以需求彈性一般取負(fù)值,所以在公式的右方乘以(-1),即-■■,稱其為彈性系數(shù)。

例1:設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=3000e-0.02p,求價(jià)格為100時(shí)的需求彈性,并解釋其經(jīng)濟(jì)含義。

解:Ed(P)=■=■=-0.02p

Ed(100)=-2

經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)價(jià)格為100時(shí),若價(jià)格增加1%,則需求減少2%。

彈性分析在預(yù)測(cè)市場(chǎng)結(jié)果、分析市場(chǎng)受到干預(yù)時(shí)所發(fā)生的變化等方面起著重要作用。另外,在經(jīng)濟(jì)研究的許多方面,會(huì)遇到如何對(duì)有限的資源(如人力、財(cái)力、物力)進(jìn)行合理的安排,以使預(yù)期目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型中的線性規(guī)劃模型結(jié)合已有的算法和軟件能很好地回答這些問(wèn)題。例如下面的分配問(wèn)題。

例2:設(shè)有m個(gè)應(yīng)聘崗位,人事部門從n個(gè)應(yīng)聘人員中招聘m個(gè)工人(n≥m)。要求每個(gè)崗位有一個(gè)工人,上崗人員每人做一件工作,經(jīng)測(cè)試,第i個(gè)人員做第j件工作的效率(時(shí)間)為cij,試決定招聘哪些人員上崗,以及如何分配其崗位,才能使整體效益最大。

解設(shè)xij=1表示第i個(gè)應(yīng)聘人員做第j件工作,xij=0表示第i個(gè)應(yīng)聘人員不做第j件工作(其中i=1,2,3,…n;j=1,2,3,…m)。于是得線性規(guī)劃模型:

Z■=■■c■■x■■

s.t.■xij≤1,i=1,2,3…,n.(每個(gè)人至多做一件工作)

■xij=1,j=1,2,3…,m.(每件工作只有一個(gè)人做)

xij=0或1。(模型求解略)

說(shuō)明:由于決策變量取值均為0或1,所以也稱該模型為0-1規(guī)劃,是整數(shù)規(guī)劃的特殊情況。

此外,數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用例子很多,例如利用概率分布建立預(yù)期收益率模型、利用微分法建立最優(yōu)化價(jià)格模型、利用微分方程建立經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、利用Shapley值法建立收益合理分配模型、利用期望值法解決風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題等。

四、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的誤區(qū)分析

(一)濫用數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)運(yùn)用的界域是可以量化的事物,經(jīng)濟(jì)研究的視野是人類一切經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和社會(huì)關(guān)系。并非所有的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和經(jīng)濟(jì)關(guān)系都是可以量化的,不看對(duì)象、不問(wèn)條件、一門心思運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去求解經(jīng)濟(jì)問(wèn)題,很容易使經(jīng)濟(jì)學(xué)沉湎于方法論的探尋,拘泥于微觀經(jīng)濟(jì)體的研究,而對(duì)于涉及宏觀經(jīng)濟(jì)體制變革、機(jī)制設(shè)計(jì)以及社會(huì)關(guān)系調(diào)整等全局性的問(wèn)題有所輕視和忽略。現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)越來(lái)越熱衷于復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算,沾沾自喜于美妙的數(shù)學(xué)模型,玩弄神秘。其結(jié)果是導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)學(xué)逐步地與每日生活的豐富性、復(fù)雜性和非理性相脫離。

(二)對(duì)數(shù)學(xué)模型約束條件的取舍過(guò)于隨意

數(shù)學(xué)方法邏輯嚴(yán)密性和計(jì)算準(zhǔn)確性的性質(zhì)決定了任何一個(gè)數(shù)學(xué)模型都要受到若干條件的約束,只有假定這些條件滿足,該數(shù)學(xué)模型才能成立。方程越復(fù)雜所受的約束條件越多。現(xiàn)在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家建立數(shù)學(xué)模型對(duì)于約束條件,一是根本不去考慮,二是過(guò)于簡(jiǎn)化,三是約束條件的確定十分隨意,僅從模型本身的需要出發(fā)而不考慮是否符合客觀實(shí)際要求。如此建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型起不到對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象量化模擬和對(duì)經(jīng)濟(jì)理論抽象概括的作用,相反,容易引起理論的混亂和實(shí)際操作的重大失誤。

(三)先建立模型,再尋找數(shù)據(jù)

本來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型要對(duì)所研究的現(xiàn)象進(jìn)行細(xì)微周密的調(diào)查,盡可能獲取詳盡的數(shù)字資料,并應(yīng)做一番去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的深入分析,以期找出主要因素及各因素的數(shù)量關(guān)系,從而建立起數(shù)學(xué)表達(dá)式。可現(xiàn)在一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家卻反其道而行之,將構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的順序顛倒了過(guò)來(lái)。采取先確定數(shù)學(xué)表達(dá)式,然后再找能夠支持?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系式成立的數(shù)據(jù),從而驗(yàn)證自己所做出的理論概括的正確性。這種以主觀意識(shí)為導(dǎo)向的研究方法是不可取的。經(jīng)濟(jì)學(xué)本來(lái)應(yīng)是一門從實(shí)踐到理論再到實(shí)踐的不斷用實(shí)踐驗(yàn)證和充實(shí)的實(shí)證性科學(xué),若反其道而行之,難免會(huì)使經(jīng)濟(jì)研究步入不問(wèn)民眾疾苦,遠(yuǎn)離社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活實(shí)際的歧途。

(四)過(guò)分看重?cái)?shù)學(xué)模型的結(jié)果

建立數(shù)學(xué)模型對(duì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行分析、計(jì)算和預(yù)測(cè),為我們定量分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題提供了一種方法,對(duì)于我們更好地把握經(jīng)濟(jì)問(wèn)題有一定的幫助。但是我們不能因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)模型就認(rèn)為問(wèn)題就得到了解決,也不能認(rèn)為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型就是科學(xué)的依據(jù)。數(shù)學(xué)模型只是從一個(gè)側(cè)面給了我們分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的方法,在具體實(shí)踐中絕對(duì)不能對(duì)模型神秘化、崇拜化。

五、對(duì)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用的一些認(rèn)識(shí)

(一)重視數(shù)學(xué)模型的技藝性

數(shù)學(xué)建模的技術(shù)創(chuàng)造帶有一定的藝術(shù)特點(diǎn),具有技藝性很強(qiáng)的技巧。首先,建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是根本不同的,無(wú)法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧。其次,數(shù)學(xué)建模不僅是一種定量解決實(shí)際問(wèn)題的科學(xué)方法,而且還是一種從無(wú)到有的創(chuàng)新獲得過(guò)程,數(shù)學(xué)建模的好壞與建模者的素質(zhì)息息相關(guān),人是數(shù)學(xué)建模的主體,事物原型是數(shù)學(xué)建模的客體,在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中,經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等因素起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更大,一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型總是主體的能動(dòng)性與客體的規(guī)律性達(dá)到高度統(tǒng)一時(shí)境界的產(chǎn)物。

(二)數(shù)學(xué)模型的逼真性和可行性往往無(wú)法兼顧

逼真的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的,因而不容易達(dá)到通過(guò)建模對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)、決策或者控制的目的,即實(shí)用上不可行。越逼真的模型常常越復(fù)雜,即使數(shù)學(xué)上能處理,這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“費(fèi)用”也相當(dāng)高,而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益”相匹配。所以建模時(shí)往往需要在模型的逼真性與可行性,“費(fèi)用”與“效益”之間做出折衷和抉擇。

(三)理解數(shù)學(xué)模型的局限性,更好地為經(jīng)濟(jì)研究服務(wù)

數(shù)學(xué)模型只是一種分析工具,必須在經(jīng)濟(jì)理論的合理框架中才能真正發(fā)揮其應(yīng)有作用,而不能將之替代經(jīng)濟(jì)學(xué),而且數(shù)學(xué)模型的局限性:第一,人為因素直接影響數(shù)學(xué)模型,既表現(xiàn)在建立要受人們對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)實(shí)認(rèn)識(shí)能力和仿真手段的限制,還表現(xiàn)在其應(yīng)用是有條件的,不能脫離應(yīng)用者的學(xué)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和判斷能力。而人的認(rèn)識(shí)是總是有局限性的,因此經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型難免有其相應(yīng)的局限性。第二,雖然由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論具有通用性和精確性,但是模型中需要的參數(shù)是人們自己設(shè)想的,不可能正好與實(shí)際相符,另外帶入模型的其他數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性也難以肯定,于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)的和近似的。第三,并不是所有經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都能找到數(shù)學(xué)模型來(lái)支持,還有不少實(shí)際問(wèn)題很難得到有著實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型。如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測(cè)量手段不夠完善、技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過(guò)程等。第四,數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)中應(yīng)用廣泛,但目前尚沒有一個(gè)具有普遍意義的建模方法和技巧。這既是我們今后應(yīng)該努力發(fā)展的方向,又是我們不可推卸的責(zé)任。因此,我們要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的局限性,對(duì)數(shù)學(xué)模型有比較全面的客觀的認(rèn)識(shí),有利于我們更好地利用數(shù)學(xué)模型為經(jīng)濟(jì)研究服務(wù)。

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(作者單位:海南軟件職業(yè)技術(shù)學(xué)院)

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