林文濤，賈玉博，張紫文，胡 忞，易朋興
(華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢 430074)
可變分數延遲(VFD)濾波器在數字信號處理中有著廣泛的應用，例如任意采樣率轉換、分數階微分器設計、數字波束形成[1-2]。現有的VFD FIR濾波器算法可分為2類:時域插值算法和頻域優化算法。時域插值算法基于多項式插值，如Lagrange、b樣條、Hermite[3-4]等。時域插值雖然計算簡單，但在高頻下的響應較差。相比之下，通常采用頻域優化的方法來設計在大帶寬下具有足夠響應的VFD FIR濾波器。常用的優化準則包括最大平坦(MF)[5]、加權最小二乘(WLS)[6]和極大極小準則(MM)[7]。加權最小二乘法(WLS)通過求解線性方程得到濾波器系數，極小極大(minimax)方法過將傳輸特性與期望值間的最大幅度誤差最小化獲取濾波器系數。綜合考慮精度和運算復雜性，選擇加權最小二乘法來配置濾波器系數。
理想的可變分數濾波器的頻率響應[8]為
HD(ω，p)=e-jωp=cos(ωp)-jsin(ωp)，
ω∈[-ωp,ωp]，p∈[-0.5,0.5]
(1)
式中：ω為歸一化角頻率；
p為濾波器分數延時。
設計實際的濾波器則需找到一個傳遞函數來逼近理想的頻率響應，這個傳遞函數可表示為[9]
(2)
式中：z為頻率響應參數；
p為分數延時參數；
n為濾波器階數。
hn(p)可表示為p的M階多項式：
(3)
式中m為濾波器個數。
因此，實際傳遞函數可表示為：
(4)
(5)
其頻率響應為
(6)
因此VFD濾波器的設計轉化為如圖1所示的M+1個濾波器系數求解問題。這便是Farrow結構濾波器，其系數是由時延p的M階多項式構成[10]。
圖1 基于Farrow結構VFD濾波器
對于濾波器系數的配置，可以采用加權最小二乘法(WLS)實現，該過程中權重是關于ω和p的函數，通過絕對誤差，分別選擇對應變量不同范圍內的權重值，運算的復雜程度較高，得到不同頻率響應誤差總能量最小。誤差函數權重與p的關聯的影響可暫時忽略，依然能獲得較好的特性曲線，即最小二乘法中權重是ω的非負權重函數W(ω)，且W(p)≡1，這樣便能簡化推導過程。此外，利用濾波器系數的對稱性和系數約束關系能夠縮小權重函數積分范圍，即ω∈[0,ωp]，p∈[0,0.5]，相關研究也證明這種推論是成立的[11]。
2.1 濾波器系數求解
運用加權最小二乘法來求解濾波器系數實際上是理想濾波器與設計濾波器的加權平方誤差函數E(ω,p)求取最小值的過程[12]。
(7)
利用濾波器系數的對稱性：
a(-n,m)=(-1)m·a(n,m)
(8)
式(6)可轉化為2個子函數之和:
(9)
通過歐拉公式展開得：
(10)
當濾波器的群延時p取0代入式(1)及式(10),得:
HD(ω,0)=1
(11)
(12)
假設式(12)中，a(0,0)=1,a(n,0)cos(nω)=0,則
(13)
設計濾波器的頻率響應進一步轉化為：
(14)
(15)
式中：
B=-2a(n,2m-1),1≤n≤N,1≤m≤K
(16)
將加權平方差函數E(ω,p)離散化表示：
(17)
式中：I、J為ω,p的離散化步長數。
ωi=i·ωp/I
pj=0.5j/J
將式(1)、式(15)代入式(17)得
(18)
為簡化計算，將式(18)轉換成矩陣形式:
E(A,B)=tr[(TE-CAPET)T(TE-CAPET)]+
tr[(TO-SBPOT)T(TO-SBPOT)]
(19)
式中tr[·]表示矩陣的跡，其各個矩陣表示為：
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
將式(19)對矩陣A與B分別求偏導，值為0便得到最小的平方誤差：
(26)
由式(26)可得
(27)
矩陣A與B的各元素代表偶數與奇數位置子濾波器CM(z)對應位置的系a(n,m)。
2.2 加權系數迭代求解
解得濾波器系數之后便可計算其幅度響應的絕對誤差：
e(ω,p)=|HD(ω,p)-H(ω,p)|
(28)
通過改變權重函數W(ωi)的值進而得到不同的濾波器系數，濾波器幅度響應最大絕對誤差也隨之改變。為了進一步減小濾波器幅度響應的最大絕對誤差，引入一種迭代判斷方法來調整權重函數。
具體實現流程如下：
(1)取初始權重函數W1(ωi)=1,0≤i≤I，解得第一代濾波器系數a1(n,m)，并計算幅度響應絕對誤差e1(ωi,pj)；
(2)尋找到最大絕對誤差下的群延時pm，之后每次迭代都將使用該值作為尋找不同權重下最大絕對誤差；
δk(pm)=max{ek(ωi,pm)}
(29)
(3)取極小正數ε(例如ε=1×10-5)，將ek(ωi,pm)與ε進行比較。若ek(ωi,pm)≥ε，則
(30)
若ek(ωi,pm)<ε,則
Wk(ωi)=Wk-1(ωi)
(31)
(4)在新的權重函數下計算濾波器系數，計算得δk(pm)，并計算：
(32)
(5)若εp≤ε，則迭代停止，反之返回步驟(3)進行多次迭代。
為驗證上述濾波器設計的合理性，設定參數N=33、M=7、ωp=0.9π、I=40N、J=100、W(ω)=1。將以上參數代入上述公式中求解矩陣A、B得到濾波器系數，并計算其幅度響應的最大絕對誤差來評判所設計濾波器的性能。
εm=max|HD(ω,p)-H(ω,p)|，0≤ω≤ωp,0≤p≤0.5
(33)
εH=20 lg εm
(34)
在第一次迭代中，發現pm=0.5，εm=3.154 9×10-5,εH=-90 dB。將pm代入式(30)重新計算權重函數值并進行多次迭代直至循環結束，εm=1×10-5，εH=-100 dB。圖2～圖3為初次迭代時實際濾波器與理想濾波器的幅值誤差，圖4～圖5為迭代結束實際濾波器與理想濾波器的幅值誤差。
圖2 初始可變分數延時絕對誤差
圖3 初始可變分數延時絕對幅度誤差
圖4 迭代后可變分數延時絕對誤差
圖5 迭代后可變分數延時幅度絕對誤差
如圖6所示，迭代20次之后趨于平穩，最大幅度絕對誤差減小了10 dB。相較于參考文獻[12]，當p=0.22，ω=0.88π時其濾波器延時誤差為5.495 4×10-6,幅度誤差為-105.2 dB;本文所設計的濾波器延時誤差為1.578 6×10-6，幅度誤差為-116.0 dB，濾波器的性能有所提升。
圖6 相對誤差迭代軌跡
基于加權最小二乘法提出了一種Farrow結構可變分延時濾波器的設計方案及相應的加權函數系數迭代求解方法。將加權平方差函數離散化則不需進行數值積分或求解閉式公式，簡化濾波器系數的求解；
通過迭代后的加權函數系數來優化濾波器系數，使濾波器性能更加接近理想濾波器。經過理論分析與仿真驗證，所設計的濾波器性能良好，迭代算法收斂迅速。