詹 斌，袁 野，楊世武，盛 濤
(1.武漢理工大學 交通與物流工程學院，湖北 武漢 430063；
2.湖北省綜合交通運輸研究會，湖北 武漢 430048)
城市軌道交通系統作為現代交通的代表，以其自身安全、節能、高效、快捷等優勢成為當今世界大中城市解決城市道路擁堵、優化城市交通布局、增強交通運輸能力的一大舉措。隨著城市對軌道交通的不斷建設與完善，線路相互交錯，站點加深鏈接，城市軌道交通逐步向網絡化運營方向發展[1]。城市軌道交通系統的網絡化、復雜性和開放性使得整個系統在面臨外界破壞與內部故障時，節點和線路的故障可能在整個網絡中形成傳播，引起連鎖反應，發生城市軌道交通網絡的級聯失效現象[2]。因此，構建城市軌道交通網絡(urban rail transit network, URTN)級聯失效模型，研究網絡的網絡特性和在安全風險下的魯棒性特征，對保障軌道交通安全高效運營具有重要的現實意義。
國內外學者針對城市軌道交通網絡的網絡結構特性和級聯失效魯棒性正不斷加深研究。ZHANG等[3]運用Space L法建立了北京、上海、廣州3大城市的無權無向網絡模型，對網絡特性及面對隨機攻擊和蓄意攻擊時的網絡魯棒性進行了對比。Latora等[4]構建了波士頓地鐵網絡模型，分析得出網絡具有小世界特性。蔡鑒明等[5]構建了長沙的URTN模型，并通過選取4項魯棒性指標，分析了長沙市在收到攻擊后的級聯失效情況。趙瑞琳等[6]對全國10座典型城市進行了軌道交通網絡構建，完成了URTN魯棒性橫向對比研究。楊景峰等[7]選取上海為研究對象，構建了無權網絡下的城市軌道交通級聯失效模型，研究表明級聯失效情況下考慮負載分配的URTN受到攻擊時更具脆弱性。通過查閱既有研究了解到，學者們針對軌道交通網絡特性和魯棒性的研究中大多選擇建立無權無向網絡模型，忽略網絡連邊權重，無法表示節點間連邊的唯一性，沒有考慮站點間實際距離、線路重合等因素對網絡特性及級聯失效模型的影響。因此，提出將城市軌道交通線路實際距離值及站點間線路數量作為確定網絡拓撲模型權值的參考，構建城市軌道交通加權網絡拓撲模型，運用復雜網絡理論及結構特性指標，分析加權網絡下的網絡結構特性及級聯失效魯棒性。
URTN的構建需確定節點與邊的選取對象，將軌道交通車站以及站點間的線路作為節點和連邊的映射是研究者的主流選擇[8]。目前，URTN模型構建主要采用Space-L和Space-P兩種方法。Space-L法表現結果為交通網絡的實際空間結構，更適合于研究交通網絡的拓撲特性以及魯棒性；
Space-P法更側重于研究交通流量特征[9]。筆者選用Space-L方法構建網絡模型較為貼合實際空間結構。
相似權和相異權是當前表示加權網絡權重的最主要方法[10]。相似權與節點緊密程度呈正相關，較大的相似權反映較強的緊密關系，相異權則反之。根據復雜網絡特征指標的表示方法以及URTN的特性，建模使用相似權作為權重。
因城市軌道交通列車的速度受到總控臺控制且保持相對恒定，在有多條線路可供選擇且通行過站數目大致相同時，乘客的主觀能動性使得其在通行目標驅使下，若有多條線路可供選擇且通行過站數目大致相同時，將會優先選擇實際距離最短的線路。確定邊權時應考慮線路實際距離，同時把握2個站點之間多條線路通過的情況。故給出以下定義：
(1)定義1：網絡中邊權wij為節點i和j之間連邊對應城市軌道線路實際長度的倒數。
(2)定義2：若兩個站點之間有多條線路通過，則網絡中兩站點代表節點間的邊權為每條連線對應軌道線路實際長度倒數的和。
(3)定義3：整個網絡中的節點各自獨立，節點的點權為與該節點相連邊的邊權之和。
根據以上定義，將URTN抽象為一個數學集合G=(V,E)，其中V表示網絡中n個節點的集合，E表示網絡中m條邊的集合，G具有無向性。基于Space L法，根據網絡節點間的邊權，構建基于權重連接的鄰接矩陣W，如式(1)所示。通過Pajak軟件與Matlab軟件完成加權URTN模型構建并進行網絡特性仿真計算。
(1)
2.1 網絡特征指標
針對加權網絡的網絡特征指標，主要包括點權、點權分布、加權平均路徑長度[11]、聚集系數等多個指標，主要的指標內容及公式如表1所示。
表1 加權復雜網絡主要特征指標
2.2 魯棒性評價指標
URTN的魯棒性可以理解為，在軌道交通站點和線路受到隨機攻擊(偶然事故導致的交通故障，如設備故障、停電等)和蓄意攻擊(重大自然災害、恐怖襲擊、戰爭等)后，能維持交通線路基本運營的能力[12]。網絡級聯失效魯棒性是指站點遭受突發事件發生級聯失效現象時仍能保持網絡正常運行的能力。加權網絡的魯棒性評價指標主要包括加權網絡效率和最大聯通子圖，其含義及公式如表2所示。
由于URTN站點間存在關聯性，一個或少數站點由于突發事件發生故障將會影響網絡整體的關聯性變化，導致與故障站點關聯性較強的站點受到影響，嚴重的將會進一步發生故障，而新的故障站點會引起新一輪的級聯效應[13]。目前的級聯失效模型主要有二值影響模型、沙堆模型、CASCADE模型、負載-容量模型[14]等，由于URTN具有流量特征以及乘客容量限制，運用負載-容量模型對URTN進行級聯失效研究更為合理[15]。在負載-容量模型下，每個節點遵循初始負載加載方法，具備初始負載，同時將被預設一個負載上限。當節點收到攻擊后，其負載通過制定的負載重分配方式進再分配，循環負載分配過程，直至不再有節點過載。
表2 網路魯棒性評價指標
3.1 初始站點負載及容量
在URTN中客流是時刻變化的，對于固定時間節點的客流量負載無法準確預測及判斷。學者們引入“結構負載”，用節點度等網絡特征指標來定義節點的負載，以此表現網絡節點負載受網絡拓撲結構的影響。針對加權軌道交通網絡，定義級聯失效模型中初始節點負載Li(0)為：
(2)
式中：si為節點i的點權；
τ為控制節點初始負載的參數。
設定URTN中的站點均有承擔負載的能力，基于負載-容量模型，站點的乘客集散能力可用拓撲網絡中的節點容量表征，站點的容量由節點的初始負載及容忍系數來表示，且呈正相關。節點容量公式為：
Ci=(1+β)Li(0)
(3)
式中：Ci為站點i的最大容量；
Li(0)為節點i的初始負載；
β為站點的容忍系數，是站點對超出初始客流負載的處理能力，β>0。
3.2 負載重分配模型和級聯失效傳播過程
3.2.1 負載重分配模型
URTN節點由于突發事件發生故障后，若客流負載累計超過站點的容量，則節點狀態變為失效，根據擇優分配策略將故障節點的負載進行再分配，負載重分配的公式為：
(4)
式中：ΔLj為節點i故障后，分配至節點j的負載；
Li(t)為在時刻t時節點i的負載；
Lj(t)為在時刻t時節點j的負載；
Φi為節點i所有相鄰點的集合；
Pj(t)為在時刻t時節點j的剩余負載(j∈Φi)；
Cj為節點j的容量。
考慮故障節點鄰接節點的剩余負載是擇優分配策略的核心內容，能夠表現現實交通網絡中站點間的冗余客流相互影響的情況。
3.2.2 級聯失效傳播過程
根據選擇的負載重分配模型可得在URTN中，在時刻t節點i發生故障后，下一時刻其相鄰節點j的實時負載量為自身負載與節點i分配流量之和，即：
Lj(t+1)=Lj(t)+ΔLj
(5)
式中：Lj(t+1)為時刻t+1的實時負載。
在節點故障失效后，故障節點的負載完成負載分配，造成相鄰節點的負載進行變化，需重新判斷網絡節點狀態，提出如下判斷方法：
(6)
式中：“1”表示節點為失效狀態；
“0”表示節點狀態正常；
極限系數γ表示站點對客流負載的極限能力；
γCj表示節點j的極限容量，γ≥1。若Lj(t+1)>γCj，則節點j故障失效，進行下一輪的負載分配，直至所有節點負載均在容量限制之內；
若Lj(t+1)≤γCj，則級聯失效過程結束，不再進行負載分配。
3.3 級聯失效算法及仿真流程
基于上述的URTN級聯失效模型，設計出具體的級聯失效算法，具體流程如圖1所示。
圖1 級聯失效仿真流程圖
(1)建立城市軌道交通網絡，軌道交通站點映射為網絡節點，站點間線路映射為網絡節點連邊，同時基于現實情況確定網絡連邊的邊權，構建出無向有權網絡。
(2)初始化網絡節點狀態，設置網絡容忍系數β，計算得到節點的點權，確定各個節點的初始負載Li(0)以及節點容量Ci。
(3)選取網絡故障方式(隨機攻擊或蓄意攻擊)，將選取網絡節點及其連邊進行刪除，更新網絡整體狀態。
(4)根據擇優分配策略，將故障失效節點的負載分配至其相鄰節點，更新網絡節點負載情況。
(5)判斷網絡節點狀態，比較失效節點相鄰節點Φi的負載是否超過其節點容量。若超過，則判定節點失效，跳轉至步驟(4)，進行新一輪的負載分配；
若未超過，則完成級聯失效過程，繼續步驟(6)。
(6)本輪級聯失效過程結束，計算加權網絡效率E和最大聯通子圖比例S。
(7)判斷攻擊是否結束，若繼續則跳轉至步驟(3)；
若結束，則完成級聯失效仿真，評判網絡損毀情況。
武漢市是我國中西部地區首批建立城市軌道交通的城市，截止2022年1月，共開通11條城市軌道交通線路，運營總里程已超過435 km，車站總數達到282座，其中包括可換乘站點32座，武漢市城市軌道路網如圖2所示。
圖2 武漢市軌道交通路網及站點
根據之前的定義，在Space L法的基礎上構建武漢加權URTN模型，并作以下說明：
(1)武漢市軌道交通的相關數據來源(線路編號、站點間距、車站數目等)截止2021年12月31日，共11條線，247個站點(換乘站僅統計一次)，以1～247對站點進行編號，如表3所示。
表3 武漢市軌道交通站點編號
(2)因軌道交通線路為雙向發車，不考慮網絡線路的方向性，相鄰站點如果有多條線路通過，僅表示為一條連邊。
(3)運用Gaphi軟件畫出武漢 URTN拓撲圖，如圖3所示，并運用Pajak與MATLAB軟件進行網絡結構特性指標計算，以及魯棒性編程仿真。
圖3 武漢市軌道交通網絡拓撲圖
4.1 武漢市URTN特性分析
使用武漢市加權URTN模型可以得到一張節點數為247、連邊數為270，復雜節點數為32的網絡，計算可得有無加權情況下網絡特征指標結果，如表4所示。
4.1.1 加權網絡特征指標分析
由表4可知，加權網絡中網絡的平均點權為1.59，最大點權為4.580，最小為0.164，點權大于3的節點站全部節點的7.6%，點權為2以下的節點占78.1%，說明整個網絡中對網絡重要性較高的節點僅占少數；
加權平均最短距離為11.9，網絡直徑即最大最短路徑為36，節點間的最短路徑有46.7%處于10以下，說明整個網絡中節點的連接緊密性不高；
整個加權網絡的聚類系數僅為0.016，網絡效率也僅為0.135，說明網絡整體的緊密程度和連通效率不高。
表4 武漢軌道交通網絡特征指標對比
武漢市URTN經過加權后，平均點權減少了0.58，說明網絡單個節點對于整個網絡的重要性在實際距離的影響下有所減少；
網絡直徑下降了9，圖密度上漲0.002，說明在加權情況下，網絡整體更加緊密；
平均最短路徑下降了4.2，聚類系數增長2.67倍，網絡效率也提升40.6%，表明進行加權之后，網絡節點間的關聯程度有所提高，節點間的緊密程度提升。
4.1.2 網絡界定
無標度網絡的特點在于網絡中僅有少數節點可以與眾多節點相連，而剩余節點大都連接程度較低，界定方法為判斷累計度分布是否符合冪律分布。對武漢市URTN進行加權網絡下的累計點權分布以及無權網絡下的累計度分布進行擬合，結果如圖4所示。累計度分布概率雙對數坐標下具有冪律特性，擬合函數為P(k)=3.306 9k-2.599 0，R2=0.598 6，冪律指數位于[2.1,4]，說明無權網絡具備無標度網絡特性；
累計點權分布概率擬合效果較差，R2<0.5，說明武漢市加權網絡在確定無標度性質時應排除使用點權分布，否則將脫離實際，應同無權網絡一樣使用度分布。
圖4 武漢市URTN度分布圖
小世界網絡的“小世界”可以簡單解釋為規模大的網絡的平均最短路徑卻很小，網絡中節點可以通過幾步跳躍抵達其他絕大多數節點，通過擁有一定數量的高節點度的節點，使得整個網絡擁有平均最短路徑小、聚類系數大的性質。小世界網絡須符合以下條件：
(7)
(8)
結合式(7)和式(8)可得與武漢市URTN同規模隨機網絡中的特性指標，結果如表5所示。可知武漢市軌道交通加權、無權網絡的平均路徑長度都超過了同等規格的隨機網絡，而無權網絡的聚類系數則低于隨機網絡。說明武漢市無權URTN雖然不符合小世界的網絡特征，但在加權影響下,整個網絡在L空間下符合了小世界網絡界定要求。
表5 同規模隨機網絡特征指標
4.2 武漢市URTN魯棒性分析
4.2.1 攻擊策略
主要通過隨機清除節點和根據節點點權、介數中心性大小順序清除節點3種攻擊方式進行魯棒性模擬試驗，進行攻擊環境下加權網絡效率以及網絡最大聯通子圖的變動狀況解析，對比分析有無發生級聯失效下的網絡受損情況。整個攻擊仿真通過MATLAB軟件實現，為確保仿真實驗的科學性，降低誤差，對節點的攻擊實驗將重復50次，網絡整體網絡效率和最大聯通子圖比例的下降情況取50次實驗結果的平均值。其中，級聯失效模型中初始容忍系數β設置為0.15，極限系數γ設置為1.1。
4.2.2 仿真結果分析
武漢軌道交通加權網絡在不同攻擊方式下網絡效率變化情況如圖5所示。從仿真結果得知，非級聯失效的3種攻擊方式導致加權網絡效率的下降速率均比級聯失效緩慢，表明城市軌道交通遇到風險故障時，一旦站點出現客流過載并發生級聯失效，將對整個交通網絡造成更為嚴重的損害。其中，級聯失效隨機攻擊下網絡效率下降速率較為緩慢，略大于非級聯失效隨機攻擊環境，表明在隨機攻擊過程中出現節點過載以致負載重新分配，但整體情況說明軌道交通網絡抗小規模隨機風險的能力較強，不會輕易發生嚴重影響整體的運行效率的故障，不過當攻擊節點數達到30，網絡效率下降為初始網絡的35.3%，說明若發生大規模隨機故障仍會造成較大危害。此外，無論是否發生級聯失效，在介數中心性攻擊下網絡效率都將隨著攻擊次數的增加而大幅下降，在攻擊節點數達到15時，級聯失效與非級聯失效介數攻擊下的網絡效率分別下降83.7%、79.9%，說明介數中心性高的節點在網絡中的重要程度高，是維持網絡正常運行的關鍵節點，當其受到攻擊時會對整個網絡的運行效率造成較大損害。最后，在級聯失效點權攻擊環境下，當對點權大小前5的節點進行攻擊后，網絡效率僅為最初網絡的16.9%，而非級聯失效環境下卻為63.9%，說明針對點權重要度最高的節點進行攻擊，將會引發多輪負載重新分配，出現“雪崩效應”，網絡的聯通效率將斷崖式下降，當級聯失效點權攻擊節點數達到8，網絡效率下降至最初的0.38%，網絡徹底癱瘓。
圖5 不同攻擊下網絡效率變化情況
武漢軌道交通加權網絡在不同攻擊方式下最大聯通子圖比例變化情況如圖6所示。由圖6可知，在級聯失效點權、介數、隨機攻擊環境下，當攻擊節點數為5時，網絡最大聯通子圖比例分別下降至22.8%、49.8%、93.1%。從整體看，除開介數攻擊，在對網絡進行攻擊的過程中，一旦出現節點故障失效并發生級聯失效，網絡的最大聯通子圖比例將更大程度地下降，說明級聯失效攻擊環境下，隨著對節點攻擊數目的增加，網絡中將出現更多的獨立節點與區域，使得聯通子圖規模更小。級聯失效介數攻擊情況下最大聯通子圖變化不大，可以解釋為該網絡介數中心性較強節點的鄰接節點點權均較高，即節點容量大。介數中心性強的節點發生失效后，其周邊節點均能吸收重新分配的負載，不易發生級聯失效。
圖6 不同攻擊方式下最大連通子圖變化情況
通過調整級聯失效模型的容忍系數與極限系數進一步進行魯棒性分析，結果如圖7所示。隨著容忍系數β與極限系數γ的增長，在級聯失效點權攻擊下，網絡的最大連通子圖比例的下降均減緩，說明站點的最大容量與極限承載量越大，網絡整體發生級聯失效程度越低，網絡魯棒性將有效提升。因此，針對城市軌道交通站點的新建、改造過程中，在滿足日常運行的情況下，需要預留一定的站點容量以防突發情況，有效降低站點失效引起的級聯失效損害，增強網絡整體的抗毀能力，為整個交通網絡的安全運營提供有效保障。
圖7 調整容忍系數與極限系數下的仿真結果
由以上仿真結果可知，武漢軌道交通加權網絡在面對隨機攻擊時有著一定的魯棒性，在面對蓄意攻擊時具有較強的脆弱性。在考慮級聯失效的網絡攻擊下，網絡整體的抗毀能力降低，表現出更強的脆弱性，表明一旦站點遭受風險，出現客流過載并發生級聯失效，整個交通網絡將遭受嚴重的損害。同時，應對級聯失效的風險方法在于提高站點的容量以及極限承載量，對網絡整體運營提供保障。
基于復雜網絡理論，將城市軌道交通線路實際距離值以及站點間線路數量的干擾作為確定網絡拓撲模型權值的參考，采用Space L法構建了城市軌道交通加權網絡拓撲模型，并結合加權網絡特征指標提出了改良后的級聯失效模型，以武漢市軌道交通為例分析了加權網絡的拓撲特性與級聯失效魯棒性，得出以下結論：
(1)城市軌道交通網絡引用基于現實因素的相似權后，網絡拓撲結構特性發生改變，具體表現為網絡直徑與平均最短路徑減少，網絡效率、圖密度和聚類系數提升，表明網絡整體的緊密性提高、節點間的聯通程度加強。此外加權網絡相比無權網絡，同時具備小世界網絡特性與無標度網絡特性，更能體現實際交通網絡情況。
(2)武漢市軌道交通加權網絡在面對隨機攻擊時表現出一定的魯棒性，面對多組蓄意攻擊時魯棒性較差，若考慮級聯失效情況將表現出更強的脆弱性，在日常運營中應著重保護節點重要度較高的站點。
(3)為應對軌道交通級聯失效情況，針對城市軌道交通站點的新建、改造過程中，應在滿足軌日常運行的情況下，預留出一定的站點容量以防突發情況，增強網絡整體的抗毀能力，為整個交通網絡的安全運營提供有效保障。
(4)提出的基于現實因素的城市軌道交通加權網絡構建方法及級聯失效模型，具有一定的理論意義與應用價值，后續可考慮加入客流量因素進一步進行網絡特性研究。
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