張斯博,劉思雨,宋思盈,洪許海,周興玉

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)《中國(guó)教育現(xiàn)代化2035》指出:“信息技術(shù)促進(jìn)了教育的發(fā)展,計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是信息化時(shí)代的必然產(chǎn)物”。新時(shí)代的物理教師在掌握傳統(tǒng)教學(xué)技能的基礎(chǔ)上,也要掌握現(xiàn)代化的計(jì)算機(jī)工具,大力開(kāi)發(fā)數(shù)字資源,推進(jìn)物理教學(xué)改革與創(chuàng)新,使學(xué)生切實(shí)受益。當(dāng)代大學(xué)生成長(zhǎng)于信息時(shí)代,運(yùn)用計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)已是一項(xiàng)基本技能。在計(jì)算物理日益重要的今天,物理學(xué)專業(yè)的大學(xué)生更要充分利用先進(jìn)的計(jì)算機(jī)軟件促進(jìn)自己的學(xué)習(xí),為自己將來(lái)的職業(yè)發(fā)展打下基礎(chǔ)[1,2]。

Mathematica[3]作為一款功能強(qiáng)大、用法簡(jiǎn)單、語(yǔ)法優(yōu)雅的數(shù)學(xué)軟件,在理工科教學(xué)方面,特別是物理教學(xué)方面,有著廣闊的應(yīng)用空間[4-8]。在物理學(xué)中,有些現(xiàn)象比較抽象,僅依靠傳統(tǒng)教材中的文字、公式和圖片,學(xué)習(xí)者難以在腦海中構(gòu)建出具體的圖像,而利用Mathematica軟件強(qiáng)大的圖形繪制功能和便捷的動(dòng)畫(huà)合成功能將抽象枯燥的公式轉(zhuǎn)化為形象直觀的動(dòng)畫(huà),則可以很好地解決這一問(wèn)題。而且,這種方法不受實(shí)驗(yàn)儀器及其精度的限制,可以有效地節(jié)約成本。

波動(dòng)現(xiàn)象是一類重要的物理現(xiàn)象,是大學(xué)物理教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分[9]。本文以經(jīng)典物理學(xué)中幾種典型波動(dòng)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)模擬為例,來(lái)介紹基于Mathematica的物理教學(xué)資源開(kāi)發(fā)。具體而言,本研究使用Mathematica軟件對(duì)聲波的行波和駐波,簡(jiǎn)諧水波在多視角下的三維圖像,通過(guò)單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像,以及平面電磁波的傳播做動(dòng)態(tài)模擬,以期得到直觀形象的動(dòng)態(tài)效果圖,幫助學(xué)習(xí)者更好地認(rèn)識(shí)波動(dòng)現(xiàn)象和理解波動(dòng)規(guī)律。

在精確模擬這些波動(dòng)現(xiàn)象的過(guò)程中,本研究充分利用了Mathematica強(qiáng)大的內(nèi)置函數(shù),特別是以下五種繪圖函數(shù):ListPlot(繪制點(diǎn)集)、Plot3D(繪制三維圖形)、DensityPlot(繪制密度圖)、Graphics3D(繪制三維形狀)、ParametircPlot3D(繪制三維參數(shù)圖)。創(chuàng)作相應(yīng)的動(dòng)態(tài)效果圖時(shí),本文采用的一般步驟如下:首先,使用ListPlot等函數(shù)繪制某個(gè)波動(dòng)現(xiàn)象的靜態(tài)圖;然后,通過(guò)Table(表格)函數(shù)控制變量生成一系列漸進(jìn)變化的靜態(tài)圖;最后,使用Export(導(dǎo)出)函數(shù)將該系列靜態(tài)圖按順序合成并輸出為一個(gè)動(dòng)態(tài)圖。

根據(jù)傳播方向與振動(dòng)方向的關(guān)系,波可以分為橫波和縱波。相比于橫波,縱波的物理圖像更難想象。聲波是一類典型的縱波。在聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)[10]中,行波法(相位比較法)和駐波法(振幅極值法)被用來(lái)測(cè)量超聲波的速度。在教學(xué)過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于聲波之行波和駐波的傳播形態(tài),很多同學(xué)的認(rèn)識(shí)比較模糊。為了幫助同學(xué)們建立清晰的物理圖像,本節(jié)使用Mathematica軟件對(duì)聲波的行波和駐波做動(dòng)態(tài)模擬,其中用到的行波和駐波的波動(dòng)公式分別為

x(x0,t)=x0+Acos(ωt±kx0+φ) ,

(1)

x(x0,t)=x0+Acos(ωt±kx0+φ1)+Acos(ωt?kx0+φ2) ,

(2)

其中,x0為質(zhì)點(diǎn)的平衡位置,x為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所處的位置,A代表振幅,ω代表圓頻率(ω=2πf,f為頻率),k代表波數(shù)(k=2π/λ,λ為波長(zhǎng)),φ、φ1、φ2代表相位。在此值得說(shuō)明的是,本文所研究的波動(dòng)現(xiàn)象并不局限于某一特定的時(shí)空尺度,相關(guān)物理量的絕對(duì)數(shù)值及具體單位不是影響仿真效果的核心要素,為表述方便,對(duì)于這些物理量本文采用相對(duì)數(shù)值的表達(dá)方式并省略了它們的單位。

基于波動(dòng)公式(1),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語(yǔ)句

A=1;ω=1;k=1;φ=0;φ1=0;φ2=0;m=270;n=20;

Table[{x0[i]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ],y0[[i]][[j]]},{i,m},{j,n}],1],

PlotRange→{{-1,6π+1},{-1.25,1.25}},

PlotMarkers→{Automatic,Tiny},PlotStyle→Black,Axes→False];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/180}];

Export[“聲波之行波.gif”,images,“DisplayDurations”→0.05,

ImageSize→{720,360},“Animation Repetitions”→6]

程序運(yùn)行界面如圖1所示,Mahtematica軟件會(huì)自動(dòng)顯示代碼中關(guān)鍵詞的漢語(yǔ)翻譯。輸入代碼后,按Shift+Enter鍵或直接按小鍵盤(pán)Enter鍵執(zhí)行該程序,即可在當(dāng)前工作目錄(Windows系統(tǒng)中默認(rèn)為“文檔”文件夾)下生成gif格式的動(dòng)態(tài)效果圖文件:聲波之行波.gif,如支持信息中動(dòng)態(tài)圖S1(a)所示,這里使用點(diǎn)集運(yùn)動(dòng)來(lái)表現(xiàn)聲波之行波的運(yùn)動(dòng)形態(tài),其中的“點(diǎn)”代表組成介質(zhì)的微粒。

圖1 程序運(yùn)行界面

這段程序分為三個(gè)步驟。第一步的image函數(shù)定義分為三層。其中,最內(nèi)一層的Table函數(shù),用來(lái)產(chǎn)生圖中點(diǎn)的集合,該函數(shù)包含以下三個(gè)參數(shù):(1){x0[i]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ],y0[[i]][[j]]}是點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá)式,其中x0[i]和y0[[i]][[j]]是第(i,j)個(gè)點(diǎn)的平衡位置的橫縱坐標(biāo),A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ]是該點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的振動(dòng)位移;(2-3){i,m},{j,n}指定點(diǎn)的索引i和j的取值范圍分別為1到m和1到n。中間一層是Flatten(展平)函數(shù),用來(lái)將其第一個(gè)參數(shù)即最內(nèi)一層Table函數(shù)產(chǎn)生的二維列表展平為一維列表,它的第二個(gè)參數(shù)指定展平層數(shù)為1。最外一層是ListPlot函數(shù),用來(lái)生成聲波之行波的一個(gè)靜態(tài)圖,該函數(shù)包含四個(gè)參數(shù):(1)PlotRange→{{-1,6π+1},{-1.25,1.25}}指定橫縱坐標(biāo)軸的顯示范圍分別是[-1,6π+1]和[-1.25,1.25];(2)PlotMarkers→{Automatic,Tiny}使用默認(rèn)的、微小的形狀來(lái)繪制點(diǎn)的標(biāo)記;(3)PlotStyle→Black指定繪圖顏色為黑色;(4)Axes→False用來(lái)隱藏圖中的坐標(biāo)軸。

第二步使用Table函數(shù)產(chǎn)生一系列循序漸進(jìn)的靜態(tài)圖(images)。這里的Table函數(shù)有兩個(gè)參數(shù):(1)image[t];(2){t,0,2π,2π/180}用來(lái)指定目標(biāo)函數(shù)中自變量t的取值列表,其起始值為0,終止值為2π,步長(zhǎng)為2π/180。第三步運(yùn)用Export函數(shù)將系列靜態(tài)圖images按順序合成并輸出為一個(gè)動(dòng)態(tài)圖,它有五個(gè)參數(shù):(1)“聲波之行波.gif”是輸出文件的名字;(2)images;(3)“DisplayDurations”→0.05指定動(dòng)態(tài)圖中每幀圖像的顯示時(shí)間為0.05秒;(4)ImageSize→{720,360}指定動(dòng)態(tài)圖中每幀圖像的橫軸像素?cái)?shù)和縱軸像素?cái)?shù)為720和360;(5)“AnimationRepetitions”→6指定動(dòng)畫(huà)重復(fù)播放次數(shù)為6。

根據(jù)波動(dòng)公式(2),將上段程序代碼中的A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ]替換為A*Cos[ω*t+k*x0[i]+φ1]+A*Cos[ω*t-k*x0[i]+φ2],并令A(yù)=0.5,即可得到聲波的駐波的動(dòng)態(tài)效果圖,如支持信息中動(dòng)態(tài)圖S1(b)所示。因文章中不能展示動(dòng)態(tài)圖,本節(jié)僅在圖2中展示聲波的行波在一個(gè)周期內(nèi)四種狀態(tài)的靜態(tài)圖。從支持信息中動(dòng)態(tài)圖S1(a)和圖2可以看出,行波是在向右“行走”的,而根據(jù)支持信息中動(dòng)態(tài)圖S1(b),駐波并不“行走”,只是在波腹和波節(jié)之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)。

圖2 聲波的行波

水波是一種復(fù)雜類型的機(jī)械波,在其強(qiáng)度較小、波長(zhǎng)較短時(shí),可以近似看成沿平面?zhèn)鞑サ暮?jiǎn)諧波。生活中觀察到的水波,受限于觀測(cè)條件和視角,無(wú)法看到水波完整的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。為此,本研究通過(guò)Mathematica繪制出多種視角的簡(jiǎn)諧水波三維動(dòng)態(tài)圖,以供學(xué)習(xí)者形象地認(rèn)識(shí)和理解水波的運(yùn)動(dòng)。簡(jiǎn)諧水波的波動(dòng)公式為

(3)

基于波動(dòng)公式(3),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語(yǔ)句

A=1;ω=1;k=1;φ=0;

RegionFunction→Function[{x,y},x2+y2<(4π)2],

PlotStyle→Hue[0.58,0.56,0.73],

Boxed→False,Axes→None,Mesh→None];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/180}];

Export[“水波(45度俯視).gif”,images,“DisplayDurations”→0.05,

ImageSize→{720,360},“Animation Repetitions”→6]

因文章中不能展示動(dòng)態(tài)圖,本節(jié)僅在圖3中展示三張t=2π時(shí)刻的靜態(tài)圖。從支持信息中動(dòng)態(tài)圖S2(a)～(b)以及圖3(a)和(b)可以看出,水波是一圈一圈向外傳播的,同時(shí)從支持信息中動(dòng)態(tài)圖S2(c)以及圖3(c)可以明顯看到余弦函數(shù)圖像,這是由簡(jiǎn)諧水波滿足的波動(dòng)公式?jīng)Q定的。

圖3 簡(jiǎn)諧水波在多視角下的三維圖像

無(wú)論是在教科書(shū)上,還是在實(shí)驗(yàn)中,學(xué)生們觀察到的只是通過(guò)單縫或雙縫的光波呈現(xiàn)在光屏上的條紋。為了更完整地呈現(xiàn)光波形態(tài),作為示例,本節(jié)通過(guò)Mathematica中的DensityPlot函數(shù)繪制了通過(guò)無(wú)限窄單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像。這里所謂的“無(wú)限窄”是當(dāng)單縫和雙縫寬度在理論上足夠窄以致光的衍射現(xiàn)象可以忽略時(shí)的一種理想近似。在Mathematica中,DensityPlot函數(shù)可用顏色的明暗表達(dá)強(qiáng)度的大小;而在光學(xué)現(xiàn)象中,強(qiáng)度的大小又表現(xiàn)為顏色的明暗。因此,DensityPlot函數(shù)是實(shí)施該部分動(dòng)態(tài)模擬的理想工具。作圖時(shí)使用的通過(guò)單縫和雙縫的光波的強(qiáng)度公式分別為

(4)

(5)

這里,單縫與xy平面垂直相交于(0,0)點(diǎn),雙縫與xy平面分別垂直相交于(x1,y1)點(diǎn)和(x2,y2)點(diǎn)。

基于光強(qiáng)公式(4),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語(yǔ)句

A=1;B=1;x1=0;x2=0;y1=-5π;y2=5π;

ω=1;k=1;φ=0;φ1=0;φ2=0;λ=589.3;

ColorFunction→(Hue[0.7Cos[(λ-400)/170]2,1,#]&),

Frame→None,PlotPoints→100];

images=Table[image[t],{t,0,2π,2π/10}];

Export[“通過(guò)單縫的光波.gif”,images,“DisplayDurations”→0.025,

ImageSize→{720,720},“Animation Repetitions”→6]

即可得到通過(guò)單縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像的動(dòng)態(tài)效果圖,如支持信息中動(dòng)態(tài)圖S3(a)所示。在此image函數(shù)的定義中,DensityPlot函數(shù)包含六個(gè)參數(shù),上文未介紹過(guò)的參數(shù)如下:(1)ColorFunction→(Hue[0.7Cos[(λ-400)/ 170]2,1,#]&)通過(guò)Hue函數(shù)配置ColorFunction參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)光波顏色的精確模擬,程序開(kāi)頭已指定波長(zhǎng)λ=589.3,表示將光波設(shè)置為鈉燈發(fā)出的黃光,更改波長(zhǎng)λ的數(shù)值可以得到對(duì)不同波長(zhǎng)光波的精確仿真;(2)Frame→None用來(lái)隱藏默認(rèn)的圖像邊框。

(a) 通過(guò)單縫的光波

平面電磁波是麥克斯韋方程組的基礎(chǔ)特解,是交變電磁場(chǎng)的基本形式,清楚地知曉平面電磁波的傳播圖像對(duì)于理解電磁波理論具有極其重要的意義。具體而言,平面電磁波是相互垂直且同頻同相振蕩的電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間中的傳播,其電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量可以分別表達(dá)為

E(z,t)=E0cos(ωt±kz+φ) ,

(6)

B(z,t)=B0cos(ωt±kz+φ) ,

(7)

關(guān)于平面電磁波的圖像,我們通常看到的都是靜態(tài)圖片,為了讓學(xué)習(xí)者看到更加生動(dòng)的圖像,本研究使用Mathematica中的三維作圖函數(shù)Graphics3D和ParametricPlot3D繪制了平面電磁波傳播的動(dòng)態(tài)效果圖。

基于公式(6)和(7),在Mathematica中輸入并執(zhí)行如下語(yǔ)句

E0=π;B0=π;ω=1;k=1;φ=0;n=2;

Emin=-1.25E0;Emax=1.25E0;Bmin=-1.375B0;Bmax=1.375B0;

zmin=-0.5π;zmax=4.25π;

Text[Style[″E″,16,Black,Bold],{0.95*zmax,0,0.2*zmin}],

Text[Style[″B″,16,Black,Bold],{0.1*Emax,0,0.2*zmin}],

Text[Style[″z″,16,Black,Bold],{0,0.2*Bmax,zmax}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{0,Bmin,0},{0,Bmax,0}}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{0,0,zmin},{0,0,zmax}}],

Green,Thick,Arrowheads[0.02],Arrow[{{Emin,0,0},{Emax,0,0}}],

Table[{Thin,Lighter[Red,0.2],Line[{{0,0,z},

{E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,z}}]},{z,0,n*2π,n*2π/100}],

Table[{Thin,Lighter[Blue,0.2],Line[{{0,0,z},

{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z}}]},{z,0,n*2π,n*2π/100}]},

PlotRange→{{Emin,Emax},{Bmin,Bmax},{zmin,zmax}},

PlotLabel→Row[{Style[“-電場(chǎng)分量”,20,Red,Bold],“ ”,

Style[“-磁場(chǎng)分量”,20,Blue,Bold]}],ViewVertical→{1,0,0},ViewPoint→{6,2,2},

Boxed→Flase,Axes→True,Ticks→None,

AxesOrigin→{0,0,0},AxesStyle→Black],

ParametricPlot3D[

{E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,y},{z,0,n*2π},PlotStyle→{Red,Thick}],

ParametricPlot3D[

{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z},{z,0,n*2π},PlotStyle→{Blue,Thick}]];

images=Table[image[t],{t,2π/100,2π,2π/100}];

Export[“平面電磁波.gif”,images,“DisplayDuartions”→0.05,

ImageSize→{720,540},“Animation Repetitions”→6]

即可得到平面電磁波傳播的三維動(dòng)態(tài)效果圖,如支持信息動(dòng)態(tài)圖S4所示。在此image函數(shù)的定義中,Show(顯示)函數(shù)用來(lái)同時(shí)顯示多個(gè)由不同繪圖函數(shù)生成的圖像,在這段代碼中它有三個(gè)參數(shù):(1)Graphics3D函數(shù)整體,用來(lái)繪制坐標(biāo)軸相關(guān)組件和電磁波電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的振動(dòng)矢量(省略矢量箭頭);(2-3)兩個(gè)ParametricPlot3D函數(shù)整體,分別用來(lái)繪制電磁波的電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的波動(dòng)曲線。其中,Graphics3D函數(shù)中的核心元素是運(yùn)用Table函數(shù)、Line函數(shù)以及E0*Cos[ω*t-k*z+φ]和B0*Cos[ω*t-k*z+φ]目標(biāo)函數(shù)繪制電磁波的電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的振動(dòng)矢量。兩個(gè)ParametricPlot3D函數(shù)各自包含三個(gè)參數(shù):(1){E0*Cos[ω*t-k*z+φ],0,y}和{0,B0*Cos[ω*t-k*z+φ],z}分別用來(lái)指定電場(chǎng)和磁場(chǎng)波動(dòng)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo);(2){z,0,n*2π}指定圖像中電磁波的傳播范圍;(3)PlotStyle→{Red,Thick}和PlotStyle→{Blue,Thick}分別指定用藍(lán)色和紅色的粗線來(lái)繪制電場(chǎng)和磁場(chǎng)波動(dòng)曲線。

從支持信息中動(dòng)態(tài)圖S4可以看到平面電磁波傳播的清晰圖像:電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量同頻同相、相互垂直,且沿著與它們都垂直的方向傳播。因文章中不能展示動(dòng)態(tài)圖,本文僅在圖5中展示其在t=2π時(shí)刻的靜態(tài)圖。

圖5 平面電磁波的傳播

本文基于Mathematica這一功能強(qiáng)大、用法簡(jiǎn)單、語(yǔ)法優(yōu)雅的數(shù)學(xué)軟件,動(dòng)態(tài)模擬了物理學(xué)中多種典型的波動(dòng)現(xiàn)象,其中包括:(1)聲波的行波和駐波;(2)簡(jiǎn)諧水波在多視角下的三維圖像;(3)通過(guò)單縫和雙縫的光波在傳播空間中的強(qiáng)度分布圖像;(4)平面電磁波的傳播。經(jīng)過(guò)不斷地學(xué)習(xí)、探索與實(shí)踐,基于相關(guān)波動(dòng)公式,本研究繪制出了以上各種波動(dòng)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)效果圖。這些動(dòng)畫(huà)準(zhǔn)確、直觀、形象,非常有助于學(xué)習(xí)者建立清晰的物理圖像,增加對(duì)上述波動(dòng)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí),增進(jìn)對(duì)相應(yīng)波動(dòng)規(guī)律的理解,為物理課程增添了豐富多彩的教學(xué)資源。

本文以經(jīng)典物理學(xué)中波動(dòng)現(xiàn)象的動(dòng)態(tài)模擬為例介紹了基于Mathematica的物理教學(xué)資源開(kāi)發(fā),涉及的波動(dòng)公式比較簡(jiǎn)潔,相應(yīng)的物理圖像也較簡(jiǎn)單。然而,波動(dòng)現(xiàn)象不僅是經(jīng)典物理學(xué)的研究對(duì)象,考慮到波粒二象性,波動(dòng)力學(xué)也是量子力學(xué)的主要表現(xiàn)形式之一。相比于經(jīng)典物理學(xué)中的波動(dòng)公式,量子力學(xué)中的波函數(shù)更加復(fù)雜,相關(guān)的物理圖像更難想象。目前已有不少文獻(xiàn)對(duì)量子力學(xué)中的波函數(shù)進(jìn)行可視化研究[11-15],但這些研究主要集中在靜態(tài)可視化方面,鑒于波函數(shù)會(huì)隨時(shí)間演化,對(duì)其進(jìn)行動(dòng)態(tài)可視化研究,也具有重要意義,可以作為將來(lái)進(jìn)行物理教學(xué)資源開(kāi)發(fā)的一個(gè)拓展方向。

此外,本文充分展示了Mathematica軟件強(qiáng)大的圖形繪制功能和便捷的動(dòng)畫(huà)合成功能,反映了其在物理教學(xué)資源開(kāi)發(fā)方面的廣闊應(yīng)用前景。鑒于Mathematica軟件易于學(xué)習(xí)和使用,教師可以將相關(guān)知識(shí)、技能、方法和經(jīng)驗(yàn)講授給感興趣的學(xué)生,使其能夠面向自身學(xué)習(xí)過(guò)程中的疑難和困惑,和教師一起進(jìn)行相關(guān)的物理教學(xué)資源開(kāi)發(fā)。在此師生互動(dòng)的教學(xué)研究實(shí)踐過(guò)程中,學(xué)生能夠深化對(duì)知識(shí)的理解,增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力,體會(huì)思考和探索的樂(lè)趣,為其成長(zhǎng)為創(chuàng)新型人才奠定基礎(chǔ)。

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