昌文浩, 周德旭

（福建師范大學數學與統計學院, 福建 福州 350117）

左R-模E稱為FP-內射模[1-3]，如果對任意有限表現左R-模P，有Ext1R(P，E) =0.FP-內射模作為內射模的推廣，對于同調代數中的一些環如凝聚環，IF 環等的研究中起著重要的作用.近年來， 關于FP-內射模的推廣及其在Gorenstein同調理論中的研究引起了許多學者的興趣(如文獻[4-12]).2012年， 文獻[6] 利用FP-內射模引入研究了Gorenstein FP-內射模.2013 年，文獻[7] 進一步定義了強Gorenstein FP-內射模，并得到了FC 環的一些刻畫.另一方面， 2003 年文獻[12]利用n-表現模推廣引入了FPn-內射模，并給出了n-凝聚環的若干等價刻畫.

受以上工作的啟發，首先通過文獻[13]的FPn-內射模研究(強)Gorenstein FPn-內射模， 給出了Gorenstein FPn- 內射模，強Gorenstein FPn- 內射模以及FPn-內射模的關系， 然后得到了(強)Gorenstein FPn-內射模的若干性質和等價刻畫，最后研究了一類特殊的環——左GFPn-正則環，即每個左R-模均為Gorenstein FPn-內射模， 得到左GFPn-正則環的等價刻畫， 推廣了文獻[6-7]中相關結果.

總設環R是一個有單位元的結合環，模為酉模， 同態是指模同態， 未指明的定義和符號可參見文獻[13].

按照文獻[12]， 稱左R-模E是FPn- 內射模， 若Ext1R(X,E) =0， 其中X為n-表現模.首先， 利用FPn-內射模引入如下Gorenstein同調模.

定義1稱左R-模M是Gorenstein FPn-內射模， 如果存在FPn-內射模的正合列

使得M?Ker(E0→E1)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下為正合列， 其中X為投射維數有限的n-表現摸.特別地， 當上述正合列中Ei=Ei=E，fi=fi=f時，則稱M是強Gorenstein FPn-內射模.

命題1(強)Gorenstein FPn-內射模關于直積(直和)封閉.

證明只證強Gorenstein FPn-內射模關于直積封閉，其他情形類似可證.設{Mi}i∈I是一簇強Gorenstein FPn-內射模，則存在一個FPn-內射模的正合列

使得Mi?Ker(Ei→Ei)并且上述正合列在函子HomR(X,-)的作用下為正合列.從而存在如下正合列

使得∏Mi?Ker(∏fi) 且∏Ei是FPn- 內射模.又HomR(X,∏εi) ?∏HomR(X,εi)， 所以∏Mi是強Gorenstein FPn-內射模.

下面討論FPn-內射模，Gorenstein FPn-內射模，強Gorenstein FPn-內射模之間的聯系.

命題2每個FPn-內射模都是強Gorenstein FPn-內射模.

證明1設M是FPn-內射模，存在左R-模正合列

其中f:(x,y) ?(y,0) ，x，y∈M.顯然有Kerf=Imf=M⊕0=M.設X為投射維數有限的n-表現摸， 將HomR(X,-)到上述正合列上， 得到下述交換圖.即

由于下行序列正合， 所以上行也是正合的， 即HomR(X,δ)為正合的.從而M為強Gorenstein FPn-內射模.

命題3每個Gorenstein FPn-內射模是某個強Gorenstein FPn-內射模的直和項.

證明令M是Gorenstein FPn-內射模， 則存在完全FPn-內射分解

使得M?Ker().對于任意整數m，記δm為利用正合列δ通過增加指標m而得到的正合序列， 其中diδm=令Q=∏Pi， 則有正合序列

注意到M為Ker() 的直和項，且

由于對任意整數m都有 HomR(X,δm)正合， 所以HomR(X,ω)也正合， 于是Ker(∏d0δi)是強Gorenstein FPn-內射模.所以M是某個強GorensteinFPn-內射模的直和項.

推論1每個GorensteinFPn-內射模是FPn-內射模當且僅當每個強Gorenstein FPn-內射模是 FPn-內射模.

證明必要性顯然.充分性.由命題3 知，Gorenstein FPn- 內射模是某個強Gorenstein FPn- 內射模的直和項， 而FPn-內射模的直和項還是FPn-內射的.從而充分性成立.

下面給出在一般環下(強)Gorenstein FPn-內射模的一個等價刻畫.

命題4設M是左R- 模，則M是強Gorenstein FPn-內射模當且僅當存在一個短正合列0 →M→E→M→0，其中：E是FPn-內射模，且對于投射維數有限的n-表現模X有Ext1R(X,M) =0.

證明必要性.若M是強Gorenstein FPn-內射模， 則由定義知存在FPn-內射模正合列，使得M?Imf?kerf.從而存在短正合列0 →M→E→M→0.由定義知對于投射維數有限的n-表現摸X， HomR(X,-)保持上述序列正合， 即有正合列

再由同調長正合列定理知， 存在如下正合列

由于E為FPn-內射模， 所以Ext1R(X,E) =0.由上述正合列得到Ext1R(X,M) =0.

充分性.由條件知存在短正合列0 →M→E→M→0，其中：E為FPn-內射模，從而存在FPn-內射模正合列，使得M?Imf?kerf.用HomR(X,-)作用于上述正合列，再應用同調長正合列定理和已知條件知0 →HomR(X,M) →HomR(X,E) →HomR(X,M) →Ext1(X,M)=0 為正合序列， 從而HomR(X,-)保持上述序列正合， 即M為強Gorenstein FPn-內射模.

類似可證下面命題.

命題5左R-模M是Gorenstein FPn-內射模，當且僅當存在FPn-內射模的正合列

使得M?ker(E0→E1)并且對于任意投射維數有限的n-表現模X均有Ext1R(X,M) =0.

考慮在左n-凝聚環R中(強)Gorenstein FPn-內射模的等價刻畫， 并研究左GFPn-正則環的性質.

命題6設R是左n-凝聚環，則左R-模M是Gorenstein FPn- 內射模當且僅當存在FPn-內射模正合序列ε=…→E1→E0→E0→E1→…，使得M?ker(E0→E1).

證明必要性.由定義可以直接得到.

充分性.只需證明對于投射維數有限的n-表現模X， HomR(X，ε)為正合的.設X的投射維數為m.下面對m做數學歸納法.當m=0時結論顯然成立.現在設m≥1， 則存在短正合列0 →L→P0→X→0，其中P0為有限生成投射模，從而L的投射維數≤m-1.由于R為左n-凝聚環，從而L為n-表現模.于是有復形正合序列為

由歸納可知HomR(L,ε)為正合的.顯然HomR(P0,ε)為正合的.根據文獻[14]知，HomR(X,ε)也是正合的.

推論2設R是左n-凝聚環，則下列敘述等價：

1)M是Gorenstein FPn-內射模；

2) 存在一個正合序列…→E1→E0→M→0， 其中Ei為FPn-內射模；

3) 存在一個短正合序列0 →K→E→M→0， 其中E為FPn-內射模，K為Gorenstein FPn-內射模.

證明1)?2)， 1)?3)可由定義得到.現在證明2)?1)與3)?2).

2)?1) 設M滿足條件2)， 令0 →M→E0→E1→…為M的FPn-內射分解， 則M ?Ker(E0→E1).從而得到如下FPn-內射模的正合序列

由命題6知，M是Gorenstein FPn-內射模.

3)?2) 設存在左R-模短正合序列

其中：E為FPn內射，K為Gorenstein FPn-內射模， 則存在左R-模正合序列

其中：E"i為FPn-內射.現在將序列α與β合并，得到以下正合列：

其中：E,Ei"為FPn-內射， 所以2)成立.

命題7設R是左n-凝聚環， 則左R-模M是強Gorenstein FPn-內射模當且僅當存在正合列0→M→E→M→0其中E是FPn-內射模.此時，ExtiR(X,M)=0， ?i＞0.

證明必要性顯然.

設存在正合列0 →M→E→M→0， 其中E是FPn-內射模， 則由R是左n-凝聚環， 根據文獻[13]定理1知ExtiR(X,E) =0，?i＞0.由同調長正合列

可知， 0=Ext1(X,M)?Ext2(X,M)?Ext3(X,M)?….

下面研究左GFPn-正則環的性質.

定義2環R稱為左GFPn-正則環， 如果每個左R-模都是Gorenstein FPn-內射模.

定理1環R為左GFPn-正則環當且僅當每個投射左R-模是FPn-內射的且每個投射維數有限的n-表現左R-模都是投射的.

證明必要性.由于環R為左GFPn-正則環， 從而每個左R-模都是GFPn-內射模.于是每個投射左R-模P都是GFPn-內射模，進而存在一個FPn-內射模的正合列

使得P?Ker(E0→E1)， 于是存在可裂正合列E0→P→0.從而每個投射左R-模P是FPn-內射的，再設X為投射維數有限的n-表現模，由命題4知，對任意左R-模M均有Ext1R(X,M) =0，從而X為投射的.

充分性.設M是一個左R-模，由于每個投射左R-模是FPn-內射的，從而把M的投射分解與FPn-內射分解合并，得到完全的FPn-內射左R-模的正合列ε.再由每個投射維數有限的n-表現模X都是投射的，所以HomR(X,-)為正合序列，由GFPn-內射模的定義得到，M是GFPn-內射模.命題得證.

注1由定理1 可知，當環R的左總體維數有限時，左GFPn-正則環R一定是左n-凝聚環.

定理2設R為左n-凝聚環， 則下列敘述等價：

1） 環R為左GFPn-正則環；

2） 每個投射左R-模是Gorenstein FPn-內射的；

3） 每個投射左R-模是強Gorenstein FPn-內射的；

4） 每個投射左R-模是FPn-內射的；

5）RR是FPn-內射的(強GorensteinFPn-內射的， Gorenstein FPn-內射的)；

6） 每個投射維數有限的左R-模是FPn-內射的(強Gorenstein FPn-內射的， Gorenstein FPn-內射的).

證明1)?2) 顯然.

2)?4) 設M為投射左R- 模，則由2)知M為Gorenstein FPn-內射模，從而存在正合列0 →A→E→M→0，其中E為FPn-內射的.由于M為投射的，從而正合列可裂，于是M為FPn-內射的.

4)?6) 設M為投射維數有限的左R-模，則存在正合列

其中：E0,…,Em均為投射模.由3)知，E0,…,Em均為FPn-內射的.根據文獻[13]的命題4 和定理1 可知，M為FPn-內射的.

6)?1) 設X為投射維數有限的n-表現摸，則存在正合列0 →X0→P→X→0， 其中P為有限生成投射模.從而X0為投射維數有限的.由4)知，X0為FPn-內射的.于是0 →X0→P→X→0是可裂的，即X為投射的.根據命題知，R為左GFPn-正則環.

4)?3)?2) 根據命題1可得.

4)?5) 利用FPn-內射模類關于直和與直和項封閉即得.

猜你喜歡 內射模充分性正則 2023 年高考充要條件問題聚焦中學生數理化·高一版(2024年1期)2024-01-27GIac-內射模與GIac-平坦模的環刻畫蘭州理工大學學報(2021年3期)2021-07-05Liénard方程存在周期正解的充分必要條件揚州大學學報（自然科學版）(2020年2期)2020-09-08解析簇上非孤立奇點的C0-Rv-V(f)-充分性數學年刊A輯(中文版)(2020年1期)2020-05-19Gorenstein FPn-內射模和Gorenstein FPn-平坦模四川師范大學學報（自然科學版）(2019年5期)2019-11-09維持性血液透析患者透析充分性相關因素分析數理醫藥學雜志(2019年3期)2019-03-13剩余有限Minimax可解群的4階正則自同構數學年刊A輯(中文版)(2019年1期)2019-01-31IG-內射模和SI-代數數學年刊A輯(中文版)(2018年1期)2019-01-08類似于VNL環的環數學雜志(2018年5期)2018-09-19關于NA-內射模西北民族大學學報（自然科學版）(2016年4期)2016-02-21

推薦訪問:Gorenstein FPn 內射模