彭敏 余冬晴
彭敏，湖北省特級(jí)教師，襄陽(yáng)市隆中名師工作室主持人，出版專著《基于整體觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐》。彭敏帶領(lǐng)工作室成員聚焦單元整體教學(xué)研究，探索出“三階”課例研究模式，即通過(guò)研究精品課例明晰一節(jié)課的特點(diǎn)，通過(guò)研究專題課形成一類課的教學(xué)模式，通過(guò)課例研究課題化探索一種教學(xué)主張。工作室成員在全國(guó)初中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)秀課展示活動(dòng)中三次執(zhí)教展示課，執(zhí)教的20余節(jié)課獲省級(jí)及以上優(yōu)質(zhì)課（精品課）獎(jiǎng)項(xiàng)。
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》 指出，課程內(nèi)容組織的重點(diǎn)是對(duì)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑。大單元教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)致力整體規(guī)劃和設(shè)計(jì)具有相同本質(zhì)或內(nèi)在關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容，以凸顯知識(shí)體系的邏輯性和整體性，確保教學(xué)的連貫性和流暢性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展。本文基于人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《19.2一次函數(shù)》課程內(nèi)容，探索大單元視角下課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)與課程內(nèi)容的整合。
一、研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，分析單元教學(xué)要素
在“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)板塊中，一次函數(shù)是連接前后知識(shí)的橋梁，是第四學(xué)段學(xué)生必須深入掌握的核心數(shù)學(xué)知識(shí)。一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)不僅能為二次函數(shù)和反比例函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，還有助于學(xué)生理解物理學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中的數(shù)量關(guān)系。
一次函數(shù)作為最基本的函數(shù)類型，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的入門課程。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)第四學(xué)段學(xué)生提出“會(huì)用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成合適的運(yùn)算思路解決問(wèn)題；
形成抽象能力、模型觀念，進(jìn)一步發(fā)展運(yùn)算能力”等目標(biāo)要求。教師要引導(dǎo)學(xué)生利用一次函數(shù)描述實(shí)際情境中關(guān)聯(lián)量的動(dòng)態(tài)變化關(guān)系，建構(gòu)模型觀念和符號(hào)意識(shí)；
研究具體數(shù)量與一次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展抽象能力；
應(yīng)用一次函數(shù)解決問(wèn)題，逐步領(lǐng)悟函數(shù)原理，提高運(yùn)算能力。
課程標(biāo)準(zhǔn)分別針對(duì)一次函數(shù)的意義、一次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系、一次函數(shù)的應(yīng)用等提出如下四點(diǎn)針對(duì)性要求。①能結(jié)合具體情境體會(huì)一次函數(shù)的意義，根據(jù)已知條件確定一次函數(shù)的表達(dá)式；
會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式。②能畫一次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式[y=kx+b（k≠0）]，探索并理解[k>0]和[k<0]時(shí)圖象的變化情況；
理解正比例函數(shù)。③體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系。④能用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。由此可見(jiàn)，大單元視角下一次函數(shù)的教學(xué)可以分為函數(shù)建模、函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)應(yīng)用三個(gè)維度。函數(shù)建模要從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)引出一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念，為下面探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ)；
函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)要循序漸進(jìn)，借助直觀圖象探究一次函數(shù)的性質(zhì)，體會(huì)一次函數(shù)與二元一次方程之間的關(guān)系；
函數(shù)應(yīng)用要求學(xué)生借助函數(shù)分析與解決實(shí)際問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，筆者從“四基”角度歸納出如下大單元視角下一次函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)。基本知識(shí)：理解一次函數(shù)的概念、解析式、圖象和性質(zhì)。基本技能：會(huì)畫一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）的圖象，能結(jié)合圖象討論函數(shù)的增減性；
能利用一次函數(shù)分析和解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。基本思想：體會(huì)并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想、變化與對(duì)應(yīng)思想和建模思想。基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)歷根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型、求解模型并進(jìn)行驗(yàn)證與反思的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)一次函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，初步建立模型觀念。
綜上，大單元視角下一次函數(shù)的教學(xué)要從變化和對(duì)應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)引入一次函數(shù)的概念，接著研究其圖象、性質(zhì)及應(yīng)用，讓知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)蘊(yùn)含在問(wèn)題探究的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)的問(wèn)題情境中發(fā)掘和提煉一次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，深化對(duì)線性運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，豐富學(xué)習(xí)體驗(yàn)，以整體落實(shí)上述“四基”目標(biāo)，并使之與學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展融為一體。
二、分析學(xué)情，把握單元教學(xué)重難點(diǎn)
雖然一次函數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的知識(shí)領(lǐng)域，初次接觸理解起來(lái)可能有困難，但是，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)對(duì)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系有了初步探索，具有一定的識(shí)圖與讀圖能力。初中階段，學(xué)生通過(guò)數(shù)軸、方程、平面直角坐標(biāo)系等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，已經(jīng)體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的妙用，增強(qiáng)了抽象能力。從教材編排角度講，在一次函數(shù)內(nèi)容之前，教材編排了變量與函數(shù)、函數(shù)的圖象兩部分內(nèi)容，通過(guò)學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)初步了解變量與函數(shù)的概念，初步掌握解析法、表格法和圖象法等刻畫函數(shù)的方法。這些知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的有力支持。
在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要重點(diǎn)掌握數(shù)形結(jié)合這種特殊的思維運(yùn)算方式。這意味著他們需要將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)與直觀的圖形相結(jié)合，在符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言靈活切換的過(guò)程中深入理解一次函數(shù)的本質(zhì)和特性。然而，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形往往單獨(dú)存在，它們之間缺乏必要的聯(lián)系和互動(dòng)。因此，教師在教學(xué)中要注重將抽象問(wèn)題具體化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而降低學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生提高抽象能力，發(fā)展幾何直觀，建立模型觀念。
三、整合課程內(nèi)容，規(guī)劃單元課時(shí)任務(wù)
“一次函數(shù)”概念的呈現(xiàn)應(yīng)該是一個(gè)典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，其學(xué)習(xí)過(guò)程一般要從具體的實(shí)例出發(fā)，從中提煉出抽象的規(guī)律，也就是要將文字描述轉(zhuǎn)變?yōu)榉?hào)化表達(dá)。教材用多個(gè)例子說(shuō)明一次函數(shù)的實(shí)際背景，大量的實(shí)際問(wèn)題中變量之間具有形如[y=kx+b（k≠0）]的一次函數(shù)關(guān)系，學(xué)生需要仔細(xì)審視眾多同類型數(shù)量關(guān)系的不同實(shí)例，從中發(fā)掘它們共有的本質(zhì)和特性，還需要運(yùn)用分類和對(duì)比等方法探究正比例函數(shù)和一次函數(shù)兩個(gè)不同概念的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。正比例函數(shù)和一次函數(shù)都是根據(jù)函數(shù)的解析式定義的，都屬于初等函數(shù)中的一元多項(xiàng)式函數(shù)。當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就是正比例函數(shù)。正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)平移可以得到一次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的增減性與相對(duì)應(yīng)的正比例函數(shù)相同。可見(jiàn)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，但它們沒(méi)有必然的邏輯順序。教材出于從特殊向一般推廣的考慮，首先編排了正比例函數(shù)的內(nèi)容，討論了這種函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)，然后以此為基礎(chǔ)，繼續(xù)呈現(xiàn)一次函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)、解析式求解（待定系數(shù)法），及其與方程、不等式的關(guān)系。
為讓學(xué)生以歸納思維形成概念，整體構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，筆者將教材中“一次函數(shù)”課程內(nèi)容進(jìn)行整合，劃分為6個(gè)課時(shí)：以學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，將正比例函數(shù)定義和一次函數(shù)定義的教學(xué)合并為第1課時(shí)，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)納入第2課時(shí)，第3課時(shí)則是圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，第4課時(shí)教學(xué)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，第5課時(shí)從一次函數(shù)的角度重新分析方程、不等式、二元一次方程組，第6課時(shí)通過(guò)單元小結(jié)與復(fù)習(xí)構(gòu)建相對(duì)完整的知識(shí)體系。由此，筆者概括出“下定義（課時(shí)1）—畫圖象（課時(shí)2）—?dú)w納性質(zhì)（課時(shí)3）—解決問(wèn)題（課時(shí)4、5）—體系重構(gòu)（課時(shí)6）”的一次函數(shù)研究路徑，確定了數(shù)形結(jié)合的研究方法。這種研究函數(shù)的路徑和方法具有一般性，可遷移運(yùn)用于其他函數(shù)模型的研究，有利于學(xué)生舉一反三、觸類旁通，更加系統(tǒng)化、整體化地研究其他函數(shù)。
（作者單位：襄陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)）
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