學習自然科學，現在看來和文盲差不多，甚至可能學習社會科學也是如此”[2]。線性代數是高校理工類、經管類等專業必修的一門重要基礎數學課程，在自然科學，社會科學、工程技術等領域發揮著愈來愈重要的作用。
一、線性代數教材和應用性教學
線性代數課程多年來教學內容以傳授嚴格的理論知識為主，理論聯系實際相對薄弱。現在各類高校廣泛使用同濟大學的《線性代數》（第五版）[3]，該教材結構嚴謹、邏輯清晰、敘述詳細。唯顯不足的是限于教學時數（40左右）和篇幅，雖然所選用的例題、習題十分典型，但涉及應用性的例題、習題屈指可數。國內其他教材大致如此，本校自編教材也是如此[4]。David Lay編寫的《線性代數及其應用》在講授基礎理論的同時突出了應用（正如書名），全書各類應用性例題共51個，練習題196個，說明了線性代數可以用于工程技術、計算機、數學、物理、生物、經濟和統計等學科，應用性特色非常鮮明，表明了課程非常重視理論應用，而且突出了應用的價值。
二、明確指導思想，樹立應用意識
在科學技術、經濟管理等領域，我們不僅要研究兩個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系。各種實際問題中多變量關系在一定的條件下可以轉化為線性關系，線性代數正是解決線性問題的強有力手段，是解決相關實際問題的重要數學模型（或工具），另外學習線性代數對學生數學思維的訓練、數學方法的掌握和數學應用能力的提升都有重要的意義。因此，線性代數不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種科技素養。
我們在教學中，應當明確教學指導思想，不僅教學生基礎理論，更要引導學生把學到的理論知識進行應用，解決各類相關具體問題。但是由于教學時數的限制，課堂上不可能有大量的時間來解決各種應用問題，因此必須做好教學總體設計，依據講授的內容，適當介紹一些典型問題及解決的思路和方法，通過課后習題和課外活動，把課堂所學理論拓展到教學實踐中，深化理論學習的成果。
三、注重教學設計，落實教學要求
1. 聯系線性代數的實際背景
很多數學概念的產生其實都有深厚的實際背景，這些內容在教材中很少體現出來。在引入新的概念時適當地為學生提供一些線性代數概念和方法產生的實際背景，不僅對概念的理解有幫助，而且對激發學生的學習興趣也有很大的促進作用，對掌握相關內容也有很大的幫助。如矩陣的概念，矩陣的本質就是一個數表，那么有數表的地方就有矩陣，矩陣的廣泛應用自然就彰顯出來了。如果把矩陣看作向量組，線性方程組求解、向量的線性相關性、向量空間等知識就相互聯系起來了，應用的前景自然顯現出來。對于非零向量x，若滿足Ax=？姿x，則矩陣對向量的運算（變換）就簡化為某個數與向量的乘積（向量的伸縮），特征值的作用就十分重要了。如此這般，不一一列舉。
2. 引入實際應用案例
教學過程中要善于把數學的思想和觀念結合具體實例的分析，滲透應用意識，分析和解決一些實際問題，提高學生學習的興趣，提高數學能力和素養。
結合矩陣的乘法運算和矩陣的逆運算，介紹信息傳輸加密、解密的實例；結合線性方程組的求解的案例更多，如石油勘探中勘探設備獲得的大量數據所滿足成百上千個方程的線性方程組的求解；在國民經濟中為了預測經濟形勢，利用投入產出經濟數學模型，也往往歸結為求解一個線性方程組；餐飲業中配制營養套餐或減肥食譜也需要解線性方程組；天氣和氣象預報，根據諸多因素最后歸結為一個線性方程組的求解；在衛星遙感圖像處理中，衛星利用三種可見光和四種紅外光進行觀測，可以獲得每一個區域七張遙感圖像，由于每一個像素對應七個數據，就形成一個多元的向量組，在其中合成并求取主因素的問題，就與特征值問題有關。當然，比較復雜的線性問題的求解都需要借助計算機軟件來實現。
案例1 方陣乘冪的應用
某城鎮有10萬人具有法定的工作年齡，目前有8萬人找到了工作，2萬人失業。每年有工作的人中10%將失去工作而失業人中的60%將找到工作，假定該鎮的工作適齡人口在若干年內保持不變，問3年后該鎮工作適齡人口中有多少人失業？
xn，yn分別表示該鎮n年后就業和失業人口數，得到如下的方程組
xn+1=0.9xn+0.6yn，yn+1=0.1xn+0.4yn令xn+1yn+1=■xnxn，
記A=■，則x3y3=Ax2y2=A2x1y1=A3x0y0
其中x0x0=8000020000。A3=■3=■，故
x3y3=■8000020000=8556014440
即3年后失業人口為14 440人。
應用這一模型，結合矩陣的相似對角化，還可以進一步模擬多年后就業人口、失業人口的變化規律和趨勢。
案例2 矩陣在信息加密中的應用[5]
保密通信是當今信息時代一個非常重要的課題，基于矩陣運算加密技術是保密通信模型中最為基本而且最具活力的一種。在講授“逆矩陣”相關知識時，可以設立一個課外研究專題——可逆矩陣及其應用。結合這一專題不僅可以用來說明“逆矩陣”應用的一般思路，而且讓學生可以大顯身手，從而激勵學生進行研究性學習，激發創新意識，這樣做的教學效果也很好。
可逆方陣可用來對傳輸的信息加密。首先給每一個英語字母指派—個碼字，即將26個英文字母和空格分別用1至26和0一一對應（當然也可以用其他方式賦值）。即
例如，為了傳送信息Go northeast，把對應字母的碼字排列成一個的矩陣（按列次序）
A=■
如果不加密直接發送明文矩陣A，信息容易被破譯，極不安全，因此必須加密。通常的做法是設置密鑰，只有接收者獲得密鑰才能準確、快速解密。加密的方式是多種多樣的，必須事先約定。
若加密是用矩陣B=■，則密鑰B-1=■用于解密。
利用B加密A后，則明文A變成了密文C。即
C=BA=■■=■
接收者收到密文C后則要利用B-1對C進行解密，可得
A=B-1C=■■=■
即Go northeast。
加密后實質是方程BA=C中已知C，B求矩陣A，如果B-1存在，用逆矩陣可解矩陣方程。當然，逆矩陣的應用遠不止如此，例如還可結合矩陣相似對角化的方法處理矩陣多項式的計算，等。
案例3 線性方程組的求解
很多大學生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規律。身體的健康需要注意日常飲食中的營養，大學生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質、脂肪和碳水化合物。下表給出了這三種食物提供的營養以及大學生的正常所需營養（它們的質量以適當的單位計量）。
根據這個問題建立一個線性方程組，并通過求解方程組來確定每天需要攝入的上述三種食物的量。
這是一個簡單的非齊次線性方程組問題。設x1，x2，x3分別為三種食物的攝入量，則由表中的數據可以列出下列線性方程組
36x1+51x2+13x3=337x2+1.1x3=352x1+34x2+74x3=45
寫成矩陣方程形式Ax=b，即■x1x2x3 =33 345
利用初等變換可以很快得到問題的解。
這里直接利用Matlab求解：
A=[36，51，13；0，7，1.1；52，34，74]
b=[33；3；45]
x=A＼b
可得x=
0.27722318361443
0.39192086163701
0.23323088049177
3. 設計應用性例題的主要特征
應用性例題設置要比較新穎、富有啟發性；要多層次、有廣泛代表性；要典型示范便于推廣應用；要結合學生所學專業特色，體現現代科技的發展和新的應用領域；要避免過于陳舊、過于單一，難度不宜過高，否則難以激發學生的研究、學習興趣。
四、數學建模和數學軟件的輔助作用
借助計算機高速超強的計算能力，人們看到了矩陣模型這一強有力的工具，極大推動了大型工程、經濟和管理等問題的解決。因此對理工科學生而言，數學課不僅應該讓他們宏觀地了解數學的思想方法，還要明白作為未來工程師和管理人員，還要了解工程中可能遇到各種各樣的數學問題，并且知道應該用什么樣的數學理論和工具（包括數學軟件）去解決，把相關實際問題提煉為線性代數的核心問題（數學建模），這是一種高水平的抽象[5]。
線性問題非常便于計算機處理，把數學軟件Matlab引入到線性代數教學中，就可以把大量相關的應用性問題放到學生的課外實踐活動中，不僅是對理論教學的補充和延伸，而且對培養學生的數學建模能力、應用數學解決問題的能力和創新能力都能起到十分顯著的作用。
[參考文獻]
[1]David Lay.線性代數及其應用[M].沈復興，等譯.北京：人民郵電出版社，2007.
[2]Lars Garding（戈丁）.數學概觀[M].胡作玄譯.北京：科學出版社，2001年P.75.
[3]同濟大學.線性代數：第五版[M].北京：高等教育出版社，2012.
[4]李克娥，等.線性代數[M].華中科技大學出版社，2012.
[5]熊小兵.可逆矩陣在保密通信中的應用[J].大學數學，2007，23（3）：108-111.
[6]潘大勇，等.數學文化賞析[M].北京：科學出版社，2016：184.
Abstract： Linear algebra plays a more and more important role in the fields of natural science，social science and engineering technology. Linear algebra teaching has been mostly based on the theoretical knowledge teaching，and the relationship between theory and practice is relatively weak in actual teaching. The methods of permeating application consciousness and training innovation ability have been discussed through some examples in this paper.
Key words： linear algebra；application consciousness；teaching case