喬路寬， 張炳義， 李 巖， 馮桂宏
(沈陽工業大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)
永磁同步電機具有效率高、功率密度高、容錯性能強、結構簡單可靠等優點，廣泛應用于各行各業[1-3]。對于外轉子永磁同步電機(ERPMSM)，轉子在外側而具有轉動慣量大、結構緊湊等特點，可直接驅動皮帶輸送機運轉，成為皮帶輸送機驅動電機的主要選擇[4-5]。
皮帶輸送機早期采用頭部集中驅動方式，但由于驅動電機處皮帶張力受限導致皮帶輸送機無法大型化。為此，多點驅動式皮帶輸送機應運而生，最常見的有直線摩擦式和轉載式[6]兩種。將傳統皮帶輸送機的傳動托輥替換成永磁動力托輥可減少皮帶張力，延長皮帶輸送機單機設計長度，國內外對此研究相對較少。本文針對長距離皮帶輸送機的驅動電機采取化整為零的思想，可以根據實際工況計算出驅動功率自行選擇永磁托輥數量，進而皮帶輸送機用電機可以批量化生產，使電機真正作為皮帶輸送機的一部分。
隨著皮帶輸送機繼續大型化，所需驅動電機數量會成倍增長，每個驅動電機的成本較大程度地影響著皮帶輸送機的造價，而永磁體成本又占據永磁電機造價成本的絕大部分。因此，減少永磁體成本可以大幅度降低整臺皮帶輸送機的生產費用，但減少永磁體的用量會導致電機性能降低，因此采用多目標優化設計的方法，兼顧電機永磁體成本與電磁性能十分必要。
在永磁同步電機的多目標優化設計方面，文獻[7]采用響應面法實現永磁電機的感應電動勢、感應電動勢諧波以及齒槽轉矩的優化。雖然響應面法可以實現多目標優化的目的，但由于其本身的局限性，需要采集足夠多的樣本才能保證優化算法的準確性，但這種情況下會導致優化效率不高。文獻[8]采用田口法得到永磁同步電機的轉矩密度、效率以及齒槽轉矩的最優值，田口法的主要問題是計算精度差、全局性差，且無法考慮到優化目標之間的相互制約關系。文獻[9]采用二代非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對輸出轉矩、效率和轉矩脈動同時進行優化，雖然NSGA-II具有較強的全局尋優能力，但是該算法收斂速度慢、優化效率不高。文獻[10]通過Kriging模型結合多目標粒子群算法優化了永磁電機的齒槽轉矩、電磁轉矩以及永磁體成本，但是傳統的多目標粒子群優化(MOPSO)算法容易過早陷入局部最優解，導致優化結果不精確。目前，常用的多目標優化算法包括蟻群算法、粒子群優化算法和遺傳算法等。其中，粒子群優化算法相比于其他優化算法，具有記憶能力強、算法簡單、收斂速度快等優勢[11]，因此廣泛應用于電機的多目標優化設計。
為解決傳統MOPSO算法容易過早陷入局部最優的難題，本文在其基礎上引入非線性遞減自適應慣性權重、基于擁擠距離法的外部檔案維護機制以及變異操作，改進多目標粒子群優化算法(IMOPSO)可以有效克服這一缺點。因此，本文結合響應面法(RSM)和IMOPSO對ERPMSM進行多目標優化設計，兼顧永磁體成本與電磁性能，并通過有限元仿真驗證了多目標優化設計的正確性。
圖1為10極12槽ERPMSM的原始模型。電機尺寸較小，轉子外徑僅為117 mm，永磁體很難固定，因此選擇在轉子處開設燕尾槽。在便于固定的同時縮短電機的單邊氣隙長度，節約永磁體用量。但其缺點是燕尾槽處漏磁較多，導致定子磁鏈變小，進而輸出轉矩減小。同時在開設燕尾槽后，轉子設計為凸極轉子結構，由于電機轉子磁路不對稱而產生磁阻轉矩，導致轉矩波動變大[12]。
圖1 ERPMSM模型
另外，本文的ERPMSM是作為傳統皮帶輸送機承載托輥的替代品，是皮帶輸送機裝備的一部分，因此在軸向和徑向的尺寸上必須滿足皮帶輸送機用承載托輥的國標要求。與傳統永磁電機的多目標優化設計相比，需要固定電機的的徑向與軸向尺寸，僅從ERPMSM的定子槽型尺寸、永磁體尺寸和氣隙長度等結構方面進行考慮，電機的初始設計參數如表1所示。
表1 ERPMSM參數
傳統MOPSO具體流程如圖2所示。隨機初始化一組粒子，并將計算后得到的非劣解存入外部檔案Np中，然后根據獲得的粒子局部最優位置pi和全局最優位置pg更新粒子群的位置和速度，最后根據新的非劣解維護Np、選取新的pg，直至滿足終止條件[13]。
圖2 MOPSO流程圖
對于MOPSO，在給定D維的搜索空間，粒子群由n個粒子組成，其中，第i個粒子的D維位置矢量可表示為xi=[xi1xi2…xiD]，第i個粒子的速度矢量為vi=[vi1vi2…viD]，粒子的局部最優位置矢量為pi=[pi1pi2…piD]，粒子群全局最優位置為pg=[pg1pg2…pgD]。第i個粒子的速度和位置更新算式為
(1)
(2)
式中：w為慣性權重；
c1和c2分別對應自我認知因子和社會認知因子；
r1和r2代表分布在0～1之間的隨機數。
MOPSO的主要缺點是粒子易陷入局部最優解，本文做出如下創新以改進算法，并利用測試函數證明改進算法的優越性。
2.1 慣性權重的改進
MOPSO的慣性權重w影響算法的搜索能力，因此常用線性遞減原則改進w，使算法在前期增大從而增加對搜索空間的搜索，在后期減小w提高算法的局部搜索能力，防止陷入局部最優解。但是w的這種變化與算法的運行狀態互相獨立，難以適用于求解非線性或者較為復雜的問題。所以本文采用自適應非線性遞減的原則來改善算法的收斂性能，使w隨著算法的迭代次數產生非線性遞減。新的慣性權重可以表示為
(3)
式中：T為最大迭代次數；
k為當前迭代次數；
λ1和λ2為控制參數，本文分別取0.33和4，使w從0.9非線性遞減到0.4。
2.2 基于擁擠距離法的外部檔案維護機制
與單目標粒子群優化算法不同，MOPSO需要建立外部檔案庫來儲存非劣解。本文引入擁擠距離的概念，對MOPSO進行改進。對于擁擠距離的求解，以雙目標優化問題為例，擁擠距離的計算方法如圖3所示，第m個非劣解的擁擠距離即為虛線圍成矩形的1/2周長。在迭代過程中，外部檔案庫已滿的情況下，通過計算并淘汰擁擠距離最小的非劣解對外部檔案進行維護，保持種群多樣性并進一步加快迭代速度。
圖3 MOPSO流程圖
2.3 引入變異操作
粒子群優化算法具有較強的全局收斂能力，在求解多目標問題時，收斂速度快會導致過早收斂，容易陷入局部最優解。因此，在粒子迭代過程中，通過引入變異操作可以提高種群多樣性，防止粒子早熟收斂。在粒子位置更新的過程中，有10%的概率進行變異操作，如下所示：
(4)
式中：xk為迭代過程中粒子位置矢量；
xkmax和xkmin分別為位置矢量的最大值和最小值；
rand為0～1的隨機數；
Fg為自適應變異算子。
隨著迭代次數的增加，變異算子的影響效果逐漸減弱，Fg表達式為
Fg=[rand·(1-k/T)]2
(5)
2.4 改進前后算法的性能對比
為了驗證IMOPSO的優越性，將其與線性遞減權重和固定權重的MOPSO算法進行比較。選取測試函數DTLZ3，種群數量為300，迭代次數為500，各算法運行10次，并以世代距離(GD)和間距指標(SP)評估算法性能。
其中，GD是評估算法收斂性能的指標，表示算法已經搜尋到的非支配解集與實際Pareto前沿的距離，其計算式為
(6)
式中：N為非支配解集規模；
di表示第i個個體到實際Pareto前沿的最短歐式距離。
GD越小，表示算法的收斂精度越高。
SP是評估算法多樣性的指標，用以表示算法所得到的非支配解在目標空間中分布的均勻程度，其計算式為
(7)
非支配解在目標空間中分布的越均勻，SP的值就會越小。
由表2的測試結果可以發現，優化后的IMOPSO的GD和SP均小于其他兩種優化算法。因此，證明IMOPSO具有更好的收斂性和多樣性。
表2 優化算法性能對比
多目標優化問題是指同時存在多個需要被優化的目標，且彼此間互相影響。多目標優化可能存在一個或多個解，是考慮各個優化目標之后確定的最優解。ERPMSM的具體優化流程主要包括優化目標與優化參數的確定、參數靈敏度分析、響應面建模和IMOPSO尋優四個步驟。
3.1 確定優化目標與優化參數
為了兼顧ERPMSM的永磁體成本和電磁性能，將ERPMSM的永磁體成本Cpm、相反電動勢總諧波畸變率(THD)、轉矩脈動系數KR、輸出轉矩TN和相反電動勢有效值E0作為優化目標。
電機的輸出轉矩TN可以表示為
TN=Tpm+Tr+Tcog=
(8)
式中：Tpm為永磁轉矩；
Tr為磁阻轉矩；
Tcog為齒槽轉矩；
p為極對數；
Ld和Lq為d軸和q軸電感；
Id和Iq為d軸和q軸電流；
ψpm為永磁磁鏈。
本文的dq軸電感相差不多，因此齒槽轉矩Tcog對轉矩脈動具有較大的影響。齒槽轉矩表達式如下所示：
(9)
改變電機的定子參數和磁極參數可以改變二者的幅值，進而達到削弱齒槽轉矩的目的。
在軸向長度La固定的情況下，永磁體成本Cpm取決于永磁體的寬度和厚度，采用不均勻氣隙可以優化相反電動勢波形，對相反電動勢的THD以及有效值均有一定的影響。最終確定永磁體寬度bm、永磁體厚度hm，槽口寬度bs0、齒寬bt、槽深hs和氣隙長度δ作為優化參數。表3給出優化參數的合理取值范圍。
表3 優化參數取值
對于優化目標的約束條件，包括：
(10)
通過加入懲罰函數將之引入目標函數f(x)中，構成增廣目標函數F(x)，可表示為
(11)
式中：αi為懲罰因子；
Pi(x)為滿足對應約束條件下的懲罰函數。
3.2 靈敏度分析
為了減小試驗次數與減輕計算復雜程度，需要先對上述6個優化參數進行靈敏度分析。本文通過確定性篩選設計獲得試驗數據[14]，并采用基于方差的靈敏度分析方法，測量每個變量對響應值的靈敏度指數，第i個優化參數對第j個優化目標靈敏度Sj(Xi)計算方法如下所示：
(12)
式中：Xi為第i個優化參數；
Yj為第j個優化目標；
E(Yj/Xi)為Xi固定時Yj的平均值，V[E(Yj/Xi)]是其方差；
V(Yj)為Yj的方差。
本文涉及5個優化目標，且每個優化參數對優化目標的敏感程度都不同，會給靈敏度分析的后續篩選帶來困難，因此將多目標的靈敏度分析轉化為帶權重系數的綜合靈敏度分析，其指數可表示如下：
(13)
式中：Qj為不同優化目標的權重系數，分別取0.2、0.2、0.3、0.2、0.1。
靈敏度分析結果如表4所示。
由表4可知，bm、hm、bs0和δ更為顯著，將結果進一步優化，非顯著參數通過單參數優化進行確定。
表4 靈敏度分析結果
3.3 響應面建模
RSM利用有限元仿真試驗獲得的數據進行擬合，建立了反映各個優化參數與優化目標之間數學關系的模型[15]。本文采用二階多項式回歸方法來建立響應面模型，其具體形式可以表示為
(14)
式中：Y為優化目標；
b0為常數項；
Xi、Xij為對應不同的優化參數；
bi、bij和bii為優化參數的一、二次項系數；
ε為隨機誤差。
通過靈敏度分析后的顯著變量水平如表5所示。采用有限元仿真軟件進行試驗，四個變量的Box-Behnken設計(BBD)需要進行29次試驗。
表5 顯著變量水平
通過Design-Expert對結果數據進行分析，得到多目標優化函數如下：
THD=92.12-8.06bm+7.67hm-7.65bs0+8.03δ-0.29bm×hm+0.31bm×bs0-
KR=269.17-22.06bm-2.5bs0+5.81δ-0.12bm×hm+0.2bm×bs0-1.34bm×δ-0.11hm×bs0+4.43hm×δ+
Cpm=-310.59+12.9bm+119.29hm
TN=9.61+0.16bm+2.58hm-0.16bs0-
E0=21.94+11.62bm+44.05hm-1.93bs0-
107.61δ+0.11bm×hm+0.08bm×bs0+1.1bm×
δ+0.17hm×bs0+15hm×δ+0.14bs0×δ-
(15)
對目標模型進行的評估如表6所示，THD、KR、TN和E0的二次模型的P值均遠小于0.01，且信噪比大于4 dB，表示模型顯著性很好，可信度較高。Cpm的線性模型中的P值遠小于0.01，且信噪比遠大于4 dB，表示顯著性很好，可信度很高。另外，5個優化目標的R2均大于0.9，這表明響應面與真實值之間的差異較小，且模型中沒有統計學意義的變量數很少，進一步證明模型的擬合度較好，數據規律可以被模型較好地反映。
表6 響應面法分析結果
3.4 IMOPSO
采用MATLAB軟件編寫上述IMOPSO程序，設置種群規模和外部檔案均為50，迭代次數為200，粒子的c1和c2均取1.499 5，運行程序得到如圖4所示的Pareto前沿。
圖4 Pareto前沿
圖4中以每個粒子的大小來表示輸出轉矩TN的值，并以xy平面投影的大小來表示E0的值。綜合考慮后，在所有Pareto解中選出可行解，在確定了顯著優化參數之后，將非顯著優化參數單獨分析得出優化方案。
將優化后方案與優化前方案進行對比，結果如表7所示,有限元仿真結果如圖5～圖8所示。
表7 優化參數與優化目標對比表
本文的ERPMSM的軸向長度固定，永磁體的成本僅與永磁體的厚度hm和寬度bm有關。由表7可知，優化后方案的永磁體寬度由26.0 mm減小至23.8 mm，永磁體厚度由2.5 mm減小至2.3 mm，永磁體體積減小，永磁體成本比優化前降低了19%。
與初始方案相比，IMOPSO優化方案的槽口寬度bs0從3.6 mm減小至2 mm。由圖5～7可知，由于槽口寬度減小，齒槽效應減弱，ERPMSM的相反電動勢THD減少了56.5%，轉矩脈動減少了54.6%。由圖7和圖8可知，由于氣隙長度δ從0.7 mm減小至0.6 mm，氣隙磁密有所提高，額定轉矩提高了2.3%，相反電動勢有效值提高了0.6%。
圖5 優化前后氣隙磁密對比
圖6 優化前后空載相反電動勢諧波對比
圖7 優化前后轉矩對比
圖8 優化前后空載相反電動勢對比
由結果可知，IMOPSO優化算法求解的優化設計結果與有限元仿真結果具有良好的一致性，證明此算法準確可靠。通過本文所提IMOPSO算法進行優化后，ERPMSM的永磁體成本降低，電機的電磁性能得到了優化，證明了IMOPSO算法的有效性。
本文針對長距離皮帶輸送機用ERPMSM的多目標優化展開研究，提出了一種基于RSM和IMOPSO的ERPMSM優化設計方法，并對優化后的方案進行仿真驗證，得出以下結論：
(1) 本文提出的IMOPSO，有效地解決了MOPSO迭代后期粒子容易陷入局部最優解的問題，并通過測試函數DTLZ3驗證了算法的優越性。
(2) IMOPSO優化后的方案相比于初始設計方案來說，空載相反電動勢諧波THD減少了56.5%，轉矩脈動減少了54.6%，永磁體成本降低了19%，額定轉矩提高了2.3%，相反電動勢有效值提高了0.6%。
(3) 本文提出的IMOPSO準確可靠，且具有更好的收斂性和多樣性，能夠在減少永磁體成本的同時優化電機性能。
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