水鵬朗 田 超 封 天
(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)
IG-CG( Compound-Gaussian model with Inverse Gaussian texture)是復(fù)合高斯海雜波模型的重要類型之一[1–3]，其能夠作為K-分布[4,5]，廣義Pareto強(qiáng)度分布[6]，對(duì)數(shù)正態(tài)紋理復(fù)合高斯模型(Compound-Gaussian model with LogNormal texture, LN-CG)[7]的重要補(bǔ)充刻畫中高距離分辨率的海雜波。而且IG-CG模型下的近最優(yōu)計(jì)算可實(shí)現(xiàn)的相干檢測(cè)器的兩種形式已經(jīng)在最近被發(fā)現(xiàn)[8,9]。因此，對(duì)于高分辨海用雷達(dá)，IG-CG模型在目標(biāo)檢測(cè)中的使用的重要前提是在海雜波IG-CG模型參數(shù)的精確估計(jì)[10]。在CFAR (Constant False Alarm Rate)檢測(cè)中，參數(shù)估計(jì)精度決定了虛警率的控制精度，參數(shù)估計(jì)越準(zhǔn)確，虛警率控制越精準(zhǔn)[8,11]。而且使用匹配于雜波逆形狀參數(shù)的最優(yōu)、近最優(yōu)相干檢測(cè)器時(shí)，不精確的參數(shù)估計(jì)會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)或近最優(yōu)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量失配，帶來性能損失。由于雷達(dá)接收的數(shù)據(jù)中包含了高幅度的異常樣本，其主要來自海面目標(biāo)、島礁等的強(qiáng)回波，傳統(tǒng)基于樣本矩和迭代最大似然(Iterative Maximum Likelihood, IML)估計(jì)的方法[12]由于其對(duì)異常樣本的敏感性難以使用。
文獻(xiàn)[12]基于數(shù)據(jù)樣本分位點(diǎn)對(duì)異常樣本的穩(wěn)健性，提出了對(duì)異常樣本穩(wěn)健的雙分位點(diǎn)(Bi-Percentile, BiP)估計(jì)方法。該方法能夠在存在異常樣本的情況下穩(wěn)健估計(jì)海雜波IG-CG模型的尺度參數(shù)和逆形狀參數(shù)。仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明：兩個(gè)分位點(diǎn)的位置明顯影響估計(jì)對(duì)異常樣本穩(wěn)健性和精度。受K-分布下對(duì)異常樣本穩(wěn)健的三分位點(diǎn)估計(jì)方法[13]的啟發(fā)，本文提出了估計(jì)IG-CG分布逆形狀參數(shù)和尺度參數(shù)對(duì)異常樣本穩(wěn)健的三分位點(diǎn)(Tripercentile, Tri-per)估計(jì)方法。按照文獻(xiàn)[12]中的結(jié)果，兩個(gè)分位點(diǎn)的比率是逆形狀參數(shù)的單調(diào)函數(shù)，不同的分位點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)不同的逆形狀參數(shù)估計(jì)器。從大量的仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了達(dá)到逆形狀參數(shù)估計(jì)最小均方根誤差的雙分位點(diǎn)位置的經(jīng)驗(yàn)公式。在逆形狀參數(shù)估計(jì)中，上分位點(diǎn)的位置由其對(duì)異常樣本的穩(wěn)健性要求確定，下分位點(diǎn)位置由經(jīng)驗(yàn)公式確定，從而得到了逆形狀參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)參數(shù)設(shè)置。基于估計(jì)的逆形狀參數(shù)，進(jìn)一步確定具有最小均方根誤差的第三分位點(diǎn)位置得到尺度參數(shù)的估計(jì)。這樣得到了具有最優(yōu)分位點(diǎn)位置設(shè)置的三分位點(diǎn)參數(shù)估計(jì)方法，其明顯改善了參數(shù)估計(jì)性能。
本文內(nèi)容安排如下。第2節(jié)回顧了海雜波的IGCG幅度模型以及對(duì)異常樣本穩(wěn)健的雙分位點(diǎn)估計(jì)方法。第3節(jié)提出了具有最優(yōu)分位點(diǎn)位置設(shè)置的三分位點(diǎn)估計(jì)方法。第4節(jié)基于仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了提出方法的性能并與已有方法進(jìn)行對(duì)比。第5節(jié)總結(jié)了全文的工作。
復(fù)合高斯模型是公認(rèn)的描述海雜波的有效模型，該模型中海雜波表示為兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的乘積，反映功率起伏的紋理分量和描述散斑的復(fù)高斯分量，海雜波表示為
其中，μ和υ分別是紋理分布的尺度(雜波功率)和逆形狀參數(shù)(傳統(tǒng)形狀參數(shù)的倒數(shù))，u是零均值單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)變量。紋理的概率密度函數(shù)取不同分布類型對(duì)應(yīng)于不同的復(fù)合高斯模型。典型的，Gamma分布紋理、逆Gamma分布紋理、逆Gaussian分布紋理和對(duì)數(shù)正態(tài)紋理分別對(duì)應(yīng)于K-分布[4,5]、廣義Pareto強(qiáng)度分布[6]、IG-CG分布[1]和LN-CG分布[7]。IG-CG幅度分布的概率密度函數(shù)(Probability Density Function, PDF)和累積分布函數(shù)(Cumulative Density Function, CDF)的表達(dá)式分別為其中，r=|z|表 示幅度，μ表示尺度參數(shù)。逆形狀參數(shù)越大，幅度分布拖尾越重，海雜波的非高斯性越強(qiáng)。當(dāng)υ=0時(shí)，式(2)退化為瑞利分布，雜波是高斯雜波。當(dāng)樣本為純雜波數(shù)據(jù)時(shí)，矩估計(jì)方法(Method Of Moment, MOM)[1]和IML估計(jì)方法[12]能夠得到IG-CG模型參數(shù)的高精度估計(jì)。由于實(shí)際回波數(shù)據(jù)不可避免含異常樣本，MOM和IML估計(jì)方法由于對(duì)異常樣本敏感，估計(jì)值會(huì)嚴(yán)重偏離其真實(shí)值。文獻(xiàn)[12]提出的IG-CG分布參數(shù)的BiP估計(jì)方法，由于其使用數(shù)據(jù)的樣本分位點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，其估計(jì)性能對(duì)異常樣本穩(wěn)健[14]。
對(duì)于任意值0 <α<1 ， 位置為α的分位點(diǎn)rα是方程
其中，W(x)是Lambert W-函數(shù),y=xex函數(shù)的反函數(shù)。對(duì)于任意的0<α<β<1，可以得到兩個(gè)分位點(diǎn)的比是與尺度參數(shù)無關(guān)的逆形狀參數(shù)的單調(diào)函數(shù)[12]，即
因此，函數(shù)Θ(υ;α,β)的反函數(shù)存在，記作Λα,β(?)。由于缺乏解析表達(dá)式，使用時(shí)對(duì)給定的0<α<β<1，函數(shù)Λα,β(?)可以通過查表法實(shí)現(xiàn)。當(dāng)逆形狀參數(shù)已知，尺度參數(shù)可以從任意分位點(diǎn)估計(jì)，例如
當(dāng)式(5)和式(6)中的分位點(diǎn)被樣本分位點(diǎn)代替后，就得到了異常樣本穩(wěn)健的BiP估計(jì)方法[12]。設(shè){ri,i=1,2,...,N}是 幅度樣本，{r(i),i=1,2,...,N}是把樣本從小到大排列得到的序列，IG-CG分布模型的雙分位點(diǎn)參數(shù)估計(jì)方法的表達(dá)式為
其中，[x]表示取最接近x的整數(shù)，r?α和r?β分別是下和上樣本分位點(diǎn)。顯然，不同的0<α<β<1對(duì)應(yīng)于不同位置的BiP估計(jì)。上分位點(diǎn)位置β的選擇基于對(duì)異常樣本的穩(wěn)健性，1–β必須小于數(shù)據(jù)中異常樣本可能的最大比例。下分位點(diǎn)位置α的選擇也明顯影響估計(jì)性能[12]。
BiP估計(jì)方法中, 分位點(diǎn)位置α和β會(huì)影響參數(shù)估計(jì)的性能。受K-分布三分位點(diǎn)估計(jì)方法[13]的啟發(fā)，本文通過3個(gè)分位點(diǎn)位置的優(yōu)化設(shè)置改進(jìn)參數(shù)估計(jì)的精度。首先，通過兩個(gè)分位點(diǎn)位置的優(yōu)化設(shè)置改進(jìn)逆形狀參數(shù)的估計(jì)精度，然后在逆形狀參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)上尋找第三分位點(diǎn)的最優(yōu)位置改進(jìn)尺度參數(shù)的估計(jì)精度。
按照式(7)的估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)樣本中不存在異常樣本時(shí)，對(duì)于給定的分位點(diǎn)位置α和β，逆形狀參數(shù)的估計(jì)性能可以用相對(duì)均方根誤差衡量，它是位置參數(shù)和樣本數(shù)目的函數(shù)，記為
其中，υ?是逆形狀參數(shù)的估計(jì)值。然而，很難得到上面相對(duì)均方根誤差的解析表達(dá)式，位置參數(shù)α和β的優(yōu)選只能依賴于Monte-Carlo試驗(yàn)得到的估計(jì)值。首先，α和β的優(yōu)選不應(yīng)該依賴于逆形狀參數(shù)本身的值，因?yàn)槠涔烙?jì)之前是未知的。需要找出對(duì)所有逆形狀參數(shù)公用的最優(yōu)的位置參數(shù)設(shè)置。不失一般性，假定海雜波逆形狀參數(shù)υ具有先驗(yàn)分布pυ(υ)，那么對(duì)于給定的樣本數(shù)N，分位點(diǎn)位置參數(shù)的優(yōu)選歸結(jié)為優(yōu)化問題
其中，η是控制估計(jì)對(duì)異常樣本穩(wěn)健性的參數(shù)。一般來說，數(shù)據(jù)中異常樣本的比例要小于1–η。
本文通過Monte-Carlo試驗(yàn)的方法驗(yàn)證上面的近似結(jié)果，假設(shè)逆形狀參數(shù)γ服從區(qū)間[0,100]上的均勻分布。對(duì)給定的α,β和N，計(jì)算優(yōu)化問題式(9)中的目標(biāo)函數(shù)的值，計(jì)算積分時(shí)通過按照均勻分布隨機(jī)生成105個(gè)隨機(jī)的逆形狀參數(shù)的值取其相對(duì)均方根誤差的平均值實(shí)現(xiàn)。其中樣本數(shù)分別取做N=1000, 3000, 5000, 10000，下分位點(diǎn)位置α在區(qū)間[0.1,0.6]上均勻取值，其間隔為0.01，上分位點(diǎn)位置β在區(qū)間[α+0.1,0.99]上均勻取值，取值間隔為0.01。如圖1所示，本文畫出了4個(gè)樣本數(shù)情況下目標(biāo)函數(shù)的等值線圖。在每條等值線上，總體的逆形狀參數(shù)估計(jì)相對(duì)均方根誤差是相等的。圖中紫色曲線由每個(gè)β值下總體相對(duì)均方根誤差達(dá)到最小的α的最優(yōu)分位點(diǎn)位置(α,β)構(gòu)成。可以看到：在N很大時(shí)，式(9)中逆形狀參數(shù)估計(jì)的相對(duì)均方根誤差與N無關(guān)。為了獲得最優(yōu)參數(shù)設(shè)置的經(jīng)驗(yàn)公式，本文通過二次函數(shù)擬合最優(yōu)參數(shù)設(shè)置中α和β的關(guān)系，得到了經(jīng)驗(yàn)公式
擬合曲線在圖中用黑色曲線表示，可以看到擬合曲線和紫色曲線很好吻合。
可以發(fā)現(xiàn)，從圖1中的經(jīng)驗(yàn)公式的曲線正好是綜合相對(duì)均方根誤差的等值線與β=常數(shù)的垂直線的共切點(diǎn)組成的曲線。由于所有等值線都是凸曲線，因此經(jīng)驗(yàn)公式曲線上的每個(gè)點(diǎn)都意味著：選擇的分位點(diǎn)位置是所有具有相同綜合相對(duì)均方根誤差的位置配置中具有最小β值的配置。而小的β值意味著逆形狀參數(shù)估計(jì)對(duì)異常樣本更穩(wěn)健。換句話說，就是分位點(diǎn)最優(yōu)位置選擇就是在估計(jì)性能固定的情況下選擇對(duì)異常樣本最穩(wěn)健的配置，這能夠從優(yōu)化問題式(9)的對(duì)偶規(guī)劃得到合理性解釋。下面研究當(dāng)逆形狀參數(shù)估計(jì)得到情況下尺度參數(shù)估計(jì)性能的優(yōu)化問題。不同于BiP估計(jì)中，尺度參數(shù)從下樣本分位點(diǎn)和估計(jì)的逆形狀參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，本文選擇第3個(gè)樣本分位點(diǎn)估計(jì)尺度參數(shù)。按照式(6)，當(dāng)逆形狀參數(shù)已知時(shí)，尺度參數(shù)的平方根正比于第3個(gè)分位點(diǎn)的值。按照樣本分位點(diǎn)的漸進(jìn)公式，當(dāng)尺度參數(shù)的平方根從第3個(gè)位置在γ的樣本分位點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，估計(jì)是漸進(jìn)高斯的，即
圖1 實(shí)驗(yàn)選取最佳分位點(diǎn)組合
按照式(11)夠大時(shí)，尺度參數(shù)的估計(jì)性能由正態(tài)分布的變差系數(shù)(CV)決定
于是，第3個(gè)分位點(diǎn)的最優(yōu)位置就是給定逆形狀參數(shù)時(shí)函數(shù)h(υ,γ)的最小值點(diǎn)，即
可以證明式(15)中的函數(shù)γ(υ)滿足
按照式(16)函數(shù)在兩個(gè)極端情況下的情況以及圖2中數(shù)值計(jì)算得到的曲線式(15)的圖像，本文用下面形式的指數(shù)函數(shù)擬合曲線
通過最小二乘擬合得到參數(shù)a=0.06923,ρ1=0.4824,ρ2=0.03648。可以看到：圖2中的擬合曲線和從式(16)的數(shù)值計(jì)算得到的曲線擬合得很好。此外，由于第3分位點(diǎn)的位置γ(υ)≤0.797是遠(yuǎn)離1的，尺度參數(shù)的估計(jì)對(duì)異常樣本是穩(wěn)健的。
圖2 第3分位點(diǎn)相對(duì)誤差等高線圖
按照式(7)、式(10)和式(17)，從一組含有異常樣本的數(shù)據(jù)中估計(jì)IG-CG幅度分布的參數(shù)時(shí)，首先按照數(shù)據(jù)中最大可能的異常樣本百分比，確定上分位點(diǎn)的位置β，然后按照式(10)確定下分位點(diǎn)位置α。形狀按照式(7)的BiP估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)，最后尺度參數(shù)從式(17)確定的第3分位點(diǎn)位置進(jìn)行估計(jì)，即
本節(jié)通過仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)三分位點(diǎn)估計(jì)方法的性能并與已有的估計(jì)方法進(jìn)行比較。主要比較方法是兩個(gè)參數(shù)的RRMSE和數(shù)據(jù)的CDF和CDF之間的K-S距離，它定義為
其中，F(xiàn)E(r)是從數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)幅度累積分布，F(xiàn)(r;μ?,υ?)是估計(jì)參數(shù)得到的擬合分布。
4.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)與性能比較
仿真實(shí)驗(yàn)中，海雜波數(shù)據(jù)中添加2%的異常樣本，異常樣本的功率是海雜波功率的[20,400]倍并且按照均勻分布隨機(jī)生成。參數(shù)估計(jì)的樣本數(shù)設(shè)置為N=5000，逆形狀參數(shù)取值0.1～15，間隔為0.1均勻取值，雜波數(shù)據(jù)的尺度參數(shù)固定為1。本文使用1-2階矩估計(jì)方法(1-2 order Method Of Moment, MOM12)[2]，2-4階矩估計(jì)方法(2-4 order Method Of Moment, MOM24)[1], IML估計(jì)方法[12],具有α=0.5，β=0.95的BiP估計(jì)方法[12]，和提出的三分位點(diǎn)估計(jì)方法到仿真數(shù)據(jù)上。為保持相同的穩(wěn)健性，三分位點(diǎn)估計(jì)方法上分位點(diǎn)位置β=0.95，下分位點(diǎn)位置和第3分位點(diǎn)位置按照式(10)和式(17)設(shè)置。存在異常樣本的情況下，5個(gè)估計(jì)方法得到的逆形狀參數(shù)、尺度參數(shù)的相對(duì)均方根誤差和數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)CDF和擬合CDF的平均K-S距離如圖3所示。這里K-S距離對(duì)比橫坐標(biāo)為0.1～5的逆形參范圍。由于MOM12，MOM24和IML估計(jì)對(duì)于異常樣本非常敏感，2%高功率異常樣本的存在使得參數(shù)估計(jì)性能急劇變差。這3個(gè)估計(jì)方法的相對(duì)均方根誤差、平均K-S距離與兩個(gè)基于分位點(diǎn)的對(duì)異常樣本穩(wěn)健的估計(jì)方法相比就不在一個(gè)數(shù)量級(jí)上。為了演示這種性能差異，在3個(gè)子圖的右下角通過小圖顯示了兩類估計(jì)方法在性能上的巨大差異。從圖3可以看出：當(dāng)異常樣本存在的條件下，基于樣本分位點(diǎn)的估計(jì)方法性能良好，這類方法對(duì)異常樣本的穩(wěn)健性源于樣本分位點(diǎn)或序貫統(tǒng)計(jì)量對(duì)異常樣本的穩(wěn)健性[14]。相對(duì)于采用固定分位點(diǎn)位置的BiP估計(jì)方法[12]，提出的具有分位點(diǎn)位置優(yōu)化的三分位點(diǎn)估計(jì)方法獲得了較為明顯的性能改善。
圖3 有異常樣本條件下5種估計(jì)方法逆形狀參數(shù)的估計(jì)性能對(duì)比
4.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)性能比較實(shí)驗(yàn)
在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中選取了IPIX數(shù)據(jù)集[15]和CSIR數(shù)據(jù)庫[16]各一組X波段高分辨率海雜波數(shù)據(jù)。其中IPIX數(shù)據(jù)集的數(shù)據(jù)文件名為“19980223_184853_ANTSTEP”。
數(shù)據(jù)的距離分辨率3 m，HH極化模式，脈沖重復(fù)頻率1000 Hz，數(shù)據(jù)使用了27個(gè)相鄰距離門在9-34 s內(nèi)的雷達(dá)回波。數(shù)據(jù)中配試目標(biāo)是位于第21距離門的漂浮小船，平均信雜比22.4 dB。區(qū)域A為雜波參考(其用IML估計(jì)方法估計(jì)的參數(shù)作為真值)，區(qū)域B為純雜波數(shù)據(jù)區(qū)域，區(qū)域C包含了2%的異常樣本。區(qū)域A, B, C的海雜波數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)樣本數(shù)分別為5000, 5600, 2857。由圖4和表1觀察可知，純雜波區(qū)域B內(nèi)，IML估計(jì)誤差最小且5種估計(jì)誤差區(qū)分差別不大，意味著沒有異常樣本情況下，5種估計(jì)方法的性能都是可以接受的。而在含異常樣本的區(qū)域C內(nèi)，傳統(tǒng)的IML, MOM24和MOM12估計(jì)方法由于對(duì)異常樣本敏感，估計(jì)值嚴(yán)重偏離真值，而提出的三分位點(diǎn)估計(jì)相比于BiP估計(jì)方法估計(jì)性能受影響更小并達(dá)到了最好的估計(jì)性能。
圖4 IPIX數(shù)據(jù)庫一組HH極化數(shù)據(jù)上5種參數(shù)估計(jì)方法的性能比較
表1 IPIX實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(19980223_184853_ANTSTEP)的估計(jì)結(jié)果
為了更全面地考察估計(jì)方法，另選了南非CSIR數(shù)據(jù)庫[16]的一組X-波段數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，對(duì)應(yīng)的參數(shù)估計(jì)性能結(jié)果如表2所示。圖5(a)為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)幅度圖，該數(shù)據(jù)距離分辨率為15 m，數(shù)據(jù)的極化方式為VV，數(shù)據(jù)中配試小船的平均信雜比為19.3 dB，其雷達(dá)回波可作為異常樣本檢驗(yàn)估計(jì)方法的穩(wěn)健性。其中A,B, C區(qū)域各包含4600, 6000, 5201個(gè)樣本，C區(qū)域含約2%的異常樣本。由圖5和表2觀察可知，在純雜波區(qū)域B內(nèi)，IML估計(jì)誤差最小且5種估計(jì)方法的性能差異不大。而在含異常樣本的區(qū)域C內(nèi)，傳統(tǒng)的IML, MOM24和MOM12估計(jì)方法性能急劇下降，提出的三分位點(diǎn)估計(jì)在估計(jì)穩(wěn)健性上要優(yōu)于BiP估計(jì)方法并明顯好于傳統(tǒng)估計(jì)方法。
表2 南非CSIR實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(TFA10_001.01)的估計(jì)結(jié)果
圖5 CSIR數(shù)據(jù)庫一組VV極化數(shù)據(jù)上5種參數(shù)估計(jì)方法的性能比較
文獻(xiàn)[12]中IML方法在純海雜波下性能最好，但其易受異常樣本影響。而BiP估計(jì)方法屬穩(wěn)健估計(jì)方法，但分位點(diǎn)位置的選擇沒有優(yōu)化，遭受了一些性能損失。提出的方法通過前兩個(gè)分位點(diǎn)位置的優(yōu)化改善逆形參的估計(jì)性能，通過第三分位點(diǎn)位置的優(yōu)化改進(jìn)尺度參數(shù)的性能。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)性能都得到了改善。
海用雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)面臨著復(fù)雜的海洋環(huán)境，海雜波建模和參數(shù)估計(jì)是有效目標(biāo)檢測(cè)的基礎(chǔ)。由于不可避免的目標(biāo)、島礁等雷達(dá)強(qiáng)回波對(duì)海雜波模型參數(shù)估計(jì)性能產(chǎn)生了嚴(yán)重的影響。本文提出了針對(duì)異常樣本存在情況下的海雜波IG-CG模型穩(wěn)健的三分位點(diǎn)估計(jì)方法。該方法通過數(shù)值計(jì)算和曲線擬合優(yōu)化分位點(diǎn)位置提高參數(shù)估計(jì)精度。基于仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明提出的估計(jì)方法在存在異常樣本的條件下達(dá)到更好的參數(shù)估計(jì)性能。
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