于志游 莫鄯仟 童莉

［摘? 要］ 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)“結(jié)構(gòu)化整合學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)”，單元復(fù)習(xí)課是結(jié)構(gòu)化整合學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要途徑之一，而以往的復(fù)習(xí)課重在知識(shí)講解，輕視結(jié)構(gòu)體現(xiàn)和素養(yǎng)發(fā)展. 文章以勾股定理復(fù)習(xí)課為例，主要探究了教學(xué)中存在的問(wèn)題，從單元整體視域探討了初中勾股定理復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)思路，并根據(jù)設(shè)計(jì)思路進(jìn)行了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)，供教師參考.

［關(guān)鍵詞］ 單元教學(xué)；
勾股定理；
教學(xué)設(shè)計(jì)；
核心素養(yǎng)；
幾何直觀

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱(chēng)新課標(biāo)）的頒布，課程目標(biāo)從知識(shí)本位時(shí)代過(guò)渡到素養(yǎng)本位時(shí)代，強(qiáng)調(diào)“結(jié)構(gòu)化整合學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)”［1］. 大單元教學(xué)跳出課時(shí)和單元的限制，對(duì)單元知識(shí)結(jié)構(gòu)整體優(yōu)化，從一堆知識(shí)中抽出一條線，串聯(lián)零散的知識(shí)點(diǎn). 大量研究表明［2］［3］［4］［5］，以大概念、大任務(wù)為導(dǎo)向的大單元整體教學(xué)成為落實(shí)核心素養(yǎng)的有效途徑. 其中，單元復(fù)習(xí)課需要對(duì)整個(gè)單元的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，是學(xué)生對(duì)單元數(shù)學(xué)知識(shí)“再認(rèn)識(shí)”“再整合”“再提高”的契機(jī). 而當(dāng)前單元復(fù)習(xí)課還比較傳統(tǒng)，沒(méi)有很好地體現(xiàn)單元整合性和素養(yǎng)發(fā)展性的要求. 因此，本文結(jié)合北師大版八年級(jí)上冊(cè)教材中的勾股定理單元復(fù)習(xí)課課例，探討如何在單元整體視域下進(jìn)行初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì).

初中勾股定理復(fù)習(xí)課教學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題

勾股定理是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，位于北師大版八年級(jí)上冊(cè)的第一個(gè)單元. 它從三邊關(guān)系的角度進(jìn)一步刻畫(huà)了直角三角形的特征，是后續(xù)第二章實(shí)數(shù)內(nèi)容中無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)的必要基礎(chǔ)，是第三章位置與坐標(biāo)內(nèi)容中求兩點(diǎn)間距離的理論基礎(chǔ)，也與第五章的二元一次方程組息息相關(guān)，因此勾股定理是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，很多教學(xué)比賽中都會(huì)選擇這部分內(nèi)容作為重要選題. 勾股定理復(fù)習(xí)課是對(duì)勾股定理單元知識(shí)的“再認(rèn)識(shí)”“再提高”，促使學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)優(yōu)化整合、查漏補(bǔ)缺. 一般地，比賽課都是經(jīng)過(guò)教師深入探究而形成的，可以代表該教師的最高水平，通過(guò)分析比賽課能更精確地找到教學(xué)中存在的主要問(wèn)題. 因此，本文選擇重慶市字水中學(xué)舉辦的初中數(shù)學(xué)第六屆“卓越杯”教師技能大賽中，以“勾股定理單元復(fù)習(xí)課”為主題的兩節(jié)課來(lái)做分析.

1. 課例簡(jiǎn)述

課例1? 教師先通過(guò)思維導(dǎo)圖的方式，分別按照邊和角對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)，類(lèi)比等腰三角形研究路徑梳理直角三角形相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，引出勾股定理的概念. 之后以題帶練，復(fù)習(xí)勾股定理和勾股逆定理的概念以及其應(yīng)用，五道例題分別對(duì)應(yīng)分類(lèi)討論、方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模等思想. 最后在小結(jié)環(huán)節(jié)總結(jié)一般研究路徑：從特殊到一般，將未知轉(zhuǎn)化為已知.

課例2? 教師以一道求直角三角形邊長(zhǎng)的簡(jiǎn)單例題入手復(fù)習(xí)勾股定理的三種使用方法：直接求解、方程求解、構(gòu)造直角求解，讓學(xué)生先做后學(xué)，復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理. 接著分成四個(gè)板塊依次講解勾股定理與平面幾何、解析幾何、立體幾何以及數(shù)系擴(kuò)充等四個(gè)方面知識(shí)的聯(lián)系，復(fù)習(xí)包括折疊問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題等經(jīng)典題型. 最后在總結(jié)環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、總結(jié)思想方法.

2. 問(wèn)題梳理

兩個(gè)課例無(wú)疑是經(jīng)過(guò)精心打磨的課程，各有優(yōu)點(diǎn). 課例1運(yùn)用思維導(dǎo)圖梳理本章知識(shí)與前后章節(jié)知識(shí)的關(guān)系，注重思想的提升，有一定的大單元整體設(shè)計(jì)的意識(shí)；
課例2在課程開(kāi)始時(shí)就利用一道簡(jiǎn)單例題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)勾股定理的三種使用方法，注重方法的總結(jié)，并且例題選擇有代表性，注重勾股定理與本學(xué)期所學(xué)的其他單元知識(shí)內(nèi)容的整合應(yīng)用. 但是這兩個(gè)課例在體現(xiàn)單元整體視域時(shí)還存在以下兩個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1? 對(duì)知識(shí)講解與思想提升的權(quán)重把握不當(dāng). 單元復(fù)習(xí)課一般比較關(guān)注知識(shí)復(fù)習(xí)講解和思想方法提升，這兩部分要在整體結(jié)構(gòu)視域下分配好合理的教學(xué)時(shí)間. 課例1過(guò)于注重思想提升. 課程為了得出幾何圖形的一般研究路徑，一開(kāi)始就花費(fèi)了超過(guò)10分鐘來(lái)構(gòu)建思維導(dǎo)圖，思維導(dǎo)圖知識(shí)涵蓋范圍太廣，詳細(xì)講述等腰三角形的定義、性質(zhì)、判定等學(xué)生早已熟知的內(nèi)容. 這導(dǎo)致后續(xù)例題講解的時(shí)間不夠. 同時(shí)沒(méi)有提煉方法，直接從知識(shí)講解一步跨越到提煉思想，學(xué)生上手較難. 與之相對(duì)應(yīng)的課例2則過(guò)于注重知識(shí)講解，偏重于復(fù)習(xí)經(jīng)典題型及其求解方法，而這些在以前的課程中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了. 復(fù)習(xí)課不僅僅是經(jīng)典題的再回顧，也不是理清知識(shí)點(diǎn)，而是讓學(xué)生有新的收獲［6］.

問(wèn)題2? 例題之間缺少關(guān)系. 單元復(fù)習(xí)課的另一個(gè)重點(diǎn)是鞏固性例題的選擇，在整體結(jié)構(gòu)視域下需注意例題間的聯(lián)系. 課例1是利用數(shù)學(xué)思想來(lái)鏈接例題，而數(shù)學(xué)思想之間的關(guān)聯(lián)性其實(shí)不是很強(qiáng)，這就使得例題之間缺少聯(lián)系，課程的連貫性大打折扣. 課例2是站在期末復(fù)習(xí)的角度設(shè)計(jì)課程，按照交叉單元之間的關(guān)系鏈接例題，單元之間聯(lián)系緊密，但是每個(gè)單元中對(duì)應(yīng)的例題之間的關(guān)聯(lián)性不強(qiáng). 可見(jiàn)，單一的思想或知識(shí)梳理不能很好地鏈接例題，還需要多一條線索來(lái)整合例題.

單元整體視域下初中數(shù)學(xué)的“勾股定理”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)思路

依據(jù)以上勾股定理復(fù)習(xí)課中常見(jiàn)的問(wèn)題，以及聶靜、羅振國(guó)提出的以大概念為中心的單元教學(xué)設(shè)計(jì)路徑［7］，筆者給出單元整體視域下初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)思路，如圖1所示，共分為四個(gè)步驟：（1）分析出大概念，以大概念開(kāi)啟知識(shí)梳理；
（2）提煉研究路徑，以路徑為線串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)；
（3）選擇合適例題，以題帶講發(fā)展核心素養(yǎng)；
（4）提煉思想方法，構(gòu)建完整單元大框架. 下面以北師大版初中勾股定理復(fù)習(xí)課為例講解該設(shè)計(jì)思路.

1. 分析出大概念，以大概念開(kāi)啟知識(shí)梳理

勾股定理是平面幾何圖形度量中三角形度量的最基本定理，通過(guò)研究教材，在數(shù)學(xué)知識(shí)的整體高度，確定勾股定理章節(jié)的大概念是平面幾何圖形的度量，相對(duì)應(yīng)的大任務(wù)是掌握平面幾何圖形度量的相關(guān)思想方法并應(yīng)用于實(shí)際.

以大概念梳理單元知識(shí)，需要梳理教材中與大概念相關(guān)的子概念. 顯然勾股定理是平面幾何圖形度量在三角形這一子概念中的體現(xiàn). 三角形可以按照邊或角進(jìn)行分類(lèi)，選取特殊的三角形，包括等腰三角形以及直角三角形，作為研究對(duì)象，探究度量平面幾何圖形的方法.

2. 提煉研究路徑，以路徑為線串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)

對(duì)等腰三角形的研究，包括其定義、性質(zhì)（等邊對(duì)等角）、判定（等角對(duì)等邊），總結(jié)基本研究路徑是“定義—性質(zhì)—判定”. 勾股定理章節(jié)的編寫(xiě)是按照“問(wèn)題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用拓展”的模式展開(kāi)的，這是北師大版教材的慣用編寫(xiě)風(fēng)格. 教科書(shū)的編寫(xiě)模式涵蓋了直角三角形的性質(zhì)、判定與應(yīng)用. 綜合以上兩者研究路徑，得出平面幾何圖形的一般研究路徑是“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”. 該路徑串聯(lián)本章知識(shí)點(diǎn)，凸顯本章在三角形這一大單元下的地位.

3. 選擇合適例題，以題帶講發(fā)展核心素養(yǎng)

選擇例題應(yīng)該與研究路徑相對(duì)應(yīng)，將知識(shí)點(diǎn)連成線. 除了研究路徑這一明線串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)外，還需要核心素養(yǎng)這一暗線. 新課標(biāo)中，幾何直觀主要體現(xiàn)在四個(gè)方面［1］：（1）能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類(lèi)；
（2）能夠根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)圖形，分析圖形的性質(zhì)；
（3）建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；
（4）利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路. 因此，在選取例題時(shí)需要盡量體現(xiàn)上述四個(gè)方面，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng).

以題帶講更加符合初中生的思維習(xí)慣. 初中生正處于從形象思維中培養(yǎng)邏輯思維的學(xué)習(xí)階段，其邏輯思維還不夠成熟，對(duì)形象直觀的講解更為深刻. 因此，教師需注重直觀呈現(xiàn)，講解后點(diǎn)出知識(shí)點(diǎn)和思想方法，加深學(xué)生印象.

4. 提煉思想方法，構(gòu)建完整單元大框架

思想方法是一節(jié)課的靈魂，提煉題目中有關(guān)平面幾何圖形度量的思想方法，完成本單元的大任務(wù). 同時(shí)，也需要通過(guò)思想方法的提煉，構(gòu)建單元大框架，但是單元大框架不能直接給出，應(yīng)該由師生一起共同探究總結(jié). 學(xué)生通過(guò)本章學(xué)習(xí)對(duì)直角三角形有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解，聯(lián)合等腰三角形的研究路徑，將特殊三角形推廣到一般三角形，為后續(xù)初中階段的三角函數(shù)，以及高中階段的一般三角形的性質(zhì)和正弦、余弦定理的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

單元整體視域下初中勾股定理復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 情境引入，給出大概念

勾股定理是個(gè)古老的定理，不同的國(guó)家或者地區(qū)都曾獨(dú)立發(fā)現(xiàn)過(guò)它. 古巴比倫人通過(guò)勾股數(shù)組來(lái)確定直角三角形，測(cè)量土地面積進(jìn)行土地分配. 在我國(guó)的測(cè)量學(xué)著作《海島算經(jīng)》中就介紹了用勾股定理計(jì)算海島高度的方法.

由上述例子，可以看出勾股定理在生活實(shí)際中通常有什么用處呢？

設(shè)計(jì)意圖? 引出本章的大概念為平面幾何圖形的度量，而勾股定理是常用于三角形度量的基本定理.

2. 知識(shí)梳理，提煉研究路徑

問(wèn)題1? 勾股定理是有關(guān)三角形度量的基本定理，而三角形類(lèi)型繁多，同學(xué)們能否按照不同的要素將三角形進(jìn)行分類(lèi)呢？

問(wèn)題2? 若按照邊進(jìn)行分類(lèi)，其中較為特殊的是等腰三角形，大家知道其哪些知識(shí)點(diǎn)呢？我們研究這些知識(shí)點(diǎn)的路徑是怎么樣的？

問(wèn)題3? 若按照角進(jìn)行分類(lèi)，其中較為特殊的是直角三角形，類(lèi)比等腰三角形的研究路徑，同學(xué)們能否構(gòu)建出直角三角形的研究路徑呢？

設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生類(lèi)比等腰三角形的研究路徑，得出直角三角形的研究路徑，引出勾股定理的概念的同時(shí)，給出平面幾何的一般研究路徑：定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用. 從該路徑出發(fā)安排后續(xù)例題，使得知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，初步培養(yǎng)幾何直觀的第一個(gè)體現(xiàn)方面：能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類(lèi).

3. 以題帶練，提升思想素養(yǎng)

例1? （題型一：直角三角形知二求一）如圖5，在△ABC中，AB=20，AD為BC邊上的高，且AD=12，DC=9，求△ABC的周長(zhǎng).

變式1? 將例1中“如圖”去掉，其余條件不變，請(qǐng)問(wèn)△ABC的周長(zhǎng)怎么求？

變式2? 能否判斷△ABC是個(gè)什么三角形？

設(shè)計(jì)意圖? 復(fù)習(xí)勾股定理以及勾股定理逆定理，對(duì)應(yīng)直角三角形研究路徑中性質(zhì)以及判定環(huán)節(jié). 變式1體現(xiàn)了分類(lèi)討論思想. 引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出圖形，培養(yǎng)幾何直觀的第二個(gè)體現(xiàn)方面：能夠根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)圖形，分析圖形的性質(zhì).

例2? （題型二：圖形翻折問(wèn)題）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)D為BC上的一點(diǎn)，將△ACD沿AD折疊，使點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)E處，求BD的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖? 經(jīng)典題型——圖形翻折問(wèn)題，有多種解法：可用等面積法、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理求解. 解題時(shí)需用字母代表邊，用方程求解，并利用方程溝通代數(shù)和幾何，體現(xiàn)方程思想，培養(yǎng)幾何直觀的第三個(gè)體現(xiàn)方面：建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型.

例3? （題型三：最短路徑問(wèn)題）一個(gè)圓柱體盒子高為2 cm，周長(zhǎng)為6 cm，一只螞蟻想從盒底的點(diǎn)A沿盒的表面爬到盒頂?shù)狞c(diǎn)G處吃面包屑，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少呢？

設(shè)計(jì)意圖? 復(fù)習(xí)經(jīng)典題型——最短路徑問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，由未知轉(zhuǎn)化為已知，凸顯轉(zhuǎn)化思想，對(duì)應(yīng)研究路徑中的應(yīng)用環(huán)節(jié)，培養(yǎng)幾何直觀的第四個(gè)體現(xiàn)方面：利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路.

例4? （題型四：生活實(shí)際應(yīng)用）圖7左圖是一輛登高云梯消防車(chē)實(shí)物圖，右圖是其工作示意圖，起重臂AB（單位：m）可伸縮，伸縮范圍為10≤AB≤40，且起重臂AB可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角∠CAB的范圍為90°≤∠CAB≤150°，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)A距離地面MN的高度AC=5 m. （參考數(shù)據(jù)：≈1.7）

（1）當(dāng)起重臂AB的長(zhǎng)度為20 m，張角為135°時(shí)，求云梯消防車(chē)最高點(diǎn)B距地面的高度（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）某棟樓高39 m，若該樓中有居民家突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)該消防車(chē)能否實(shí)施有效救援？請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)意圖? 構(gòu)造直角三角形求邊，將勾股定理應(yīng)用于生活實(shí)際，培養(yǎng)幾何直觀的第四個(gè)體現(xiàn)方面.

4. 總結(jié)反思，構(gòu)建完整單元大框架

（1）勾股定理這一章你學(xué)習(xí)到了什么知識(shí)？研究路徑如何？

（2）對(duì)應(yīng)路徑講解了哪些經(jīng)典題型？本節(jié)課涉及什么數(shù)學(xué)思想方法？

（3）本章知識(shí)與前后單元之間是什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 總結(jié)度量平面幾何圖形的方法，完成單元大任務(wù). 引導(dǎo)學(xué)生從特殊三角形的研究聯(lián)想到一般三角形的研究，體現(xiàn)研究數(shù)學(xué)對(duì)象的一般思路是從特殊到一般.

結(jié)語(yǔ)

單元復(fù)習(xí)課不同于新課，學(xué)生對(duì)所講內(nèi)容已有一定認(rèn)識(shí). 若知識(shí)講解與思想提升這座“天平”過(guò)于偏向知識(shí)講解，使復(fù)習(xí)課變成習(xí)題課，學(xué)生會(huì)覺(jué)得課程索然無(wú)味. 若過(guò)于偏向思想提升，將知識(shí)講解懸于高空，使復(fù)習(xí)課變成表演課，學(xué)生會(huì)聽(tīng)得似懂非懂. 對(duì)于如何平衡知識(shí)講解與思想提升的關(guān)系，本研究提出了單元整體視域下初中勾股定理復(fù)習(xí)課整體設(shè)計(jì)思路. 將單元知識(shí)放在以大概念為起點(diǎn)構(gòu)建的知識(shí)體系中，凸顯知識(shí)之間的聯(lián)系. 接著以研究路徑和核心素養(yǎng)兩條線串聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想. 在總結(jié)階段由本章知識(shí)推廣到未來(lái)相關(guān)單元知識(shí)，構(gòu)建完整的知識(shí)框架. 如此，學(xué)生既復(fù)習(xí)了知識(shí)也提升了數(shù)學(xué)思想.? 當(dāng)然，該設(shè)計(jì)思路是結(jié)合勾股定理復(fù)習(xí)課分析得出來(lái)的，能否推廣到一般課程還需要進(jìn)一步教學(xué)實(shí)踐.

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［7］聶靜，羅振國(guó). 基于學(xué)科大概念的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課單元教學(xué)設(shè)計(jì)——以“向量”單元為例［J］. 新課程導(dǎo)學(xué)，2023（28）：79-86.

基金項(xiàng)目：重慶市教育學(xué)會(huì)第十屆（2021—2023年）基礎(chǔ)教育科研立項(xiàng)課題（XH2021B133）.

作者簡(jiǎn)介：于志游（1978—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲江北區(qū)優(yōu)秀教師，江北區(qū)教學(xué)能手，江北區(qū)初中講題比賽一等獎(jiǎng).

通信作者：童莉（1976—），博士，教授，碩士生導(dǎo)師，從事數(shù)學(xué)教育測(cè)評(píng)、數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展研究.

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